My research interests focus on three broader topics in Analysis:

• Spectral theory of canonical systems and related differential operators.
• De Branges' Hilbert spaces of entire functions and their applications.
• Interpolation- and extrapolation problems of real and complex analysis.

The above fields lie in the intersection of complex analysis, functional analysis, and operator theory. This guarantees a rich structure and a variety of different tools being available. Often nontrivial theorems appear unexpectedly, or seemingly isolated lemmas have surprising consequences.

Quite off the above areas, from time to time, I return to an old love of mine:

• Algebra.

In the recent years, I work in this context on questions motivated by computer science.

Email: harald.woracek(at)tuwien.ac.at

Phone: +43 1 58801 10112

Postal address:
Institute for Analysis and Scientific Computing
Wiedner Haupstrasse 8-10 / 101
1040 Vienna
Austria

Office: Room Nr. DA 03 L18 (Freihaus building, green area, 3rd floor)

Maps: (click to enlarge)

Building `D'		Area `A' / 3rd Floor / Room L18

International conferences

• Co-organiser of the Operator Theory and Krein Spaces, Vienna University of Technology, December 2019 (with Raphael Pruckner and Aleksey Kostenko, Vienna, and Jussi Behrndt, Graz).
  Conference website



• Co-organiser of the Operator Theory and Indefinite Inner Product Spaces, Vienna University of Technology, December 2016 (with Raphael Pruckner, Vienna, and Jussi Behrndt, Graz).
  Conference website



• Organiser of the Minicolloquium on Operator Theory held at the Vienna University of Technology, 24^th October 2012.
  Program



• Co-organiser of the Workshop on Spectral Theory and Differential Operators held at the Graz University of Technology, August 27-31, 2012 (with Jussi Behrndt, Graz, and Gerald Teschl, Vienna).
  Program    Conference website



• Co-organiser of the Colloquium on Operator Theory held at the Vienna University of Technology on the occasion of the retirement of Heinz Langer, 4-6 March, 2004 (with Matthias Langer, Glasgow, and Annemarie Luger, Stockholm).
  Program    Conference website

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Summer schools

• Co-organiser and lecturer at the Summer School: Kompakte Operatoren, Reichenau, September 2021 (with Michael Kaltenbäck, Vienna).
  Announcement    Summer school website



• Co-organiser and lecturer at the Summer School: Unitary Dilations and Interpolation Problems, Grünau, September 2019 (with Michael Kaltenbäck, Vienna, and Felix Schwenninger, Enschede).
  Announcement    Summer school website



• Co-organiser and lecturer at the Summer School: Selbstadjungierte Erweiterungen symmetrischer Operatoren, Reichenau, September 2017 (with Michael Kaltenbäck, Vienna).
  Announcement    Summer school website



• Co-organiser and lecturer at the Winter School: Kanonische Systeme - direkte Spektraltheorie, Reichenau, February 2015 (with Michael Kaltenbäck, Vienna).
  Announcement    Winter school website



• Co-organiser and lecturer at the Short Course: Geometry and Operators in Spaces with an Indefinite Inner Product, Reichenau, March 2012 (with Michael Kaltenbäck, Vienna).
  Program

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Minicourses

• Organiser of the Minicourse: Dirac systems and related problems, Vienna University of Technology, January 2018, taught by Alexander Sakhnovic, University of Vienna.
  Announcement



• Organiser of the Minicourse: Kotani-Last problem and Hardy spaces on surfaces of Widom type, Vienna University of Technology, December 2012, taught by Peter Yuditskii, Johannes Kepler University Linz.
  Announcement

• I am a member of the editorial board of the journal Complex Analysis and Operator Theory published by Birkhäuser.
  
  This journal is devoted to the publication of current research developments in the closely related fields of complex analysis and operator theory as well as in applications to system theory, harmonic analysis, probability, statistics, learning theory, and other related fields. Articles using the theory of reproducing kernel spaces are in particular welcomed. A section of the journal concentrates on Higher Dimensional Geometric Function Theory and Hypercomplex Analysis.



• I am co-editor of two sections of the 2015 Springer Reference on Operator Theory.
  • Section De Branges spaces (with Anton Baranov, St.Petersburg)
  • Section Indefinite Inner Product Spaces (with Matthias Langer, Glasgow)



• I am co-editor (with Jussi Behrndt, Graz, and Gerald Teschl, Vienna) of the Proceedings of the Workshop Spectral Theory and Differential Operators, Graz, August 2012, published as a special issue of Operators and Matrices, Oper. Matrices (special issue) 8(1) (2014), 157-299, Ele-Math, 2014.



• I am co-editor (with Matthias Langer, Glasgow, and Annemarie Luger, Stockholm) of the Proceedings of the Workshop on Operator Theory, Vienna, March 2004, published as Operator Theory and Indefinite Inner Product Spaces, Oper.Theory Adv.Appl. 163, Birkhäuser, 2006.

Research Project "Order and type of canonical systems"

This research project, starting from 15.1.2018, is a Stand-Alone Project founded by the Austrian Science foundations (FWF). It is carried out at the Institute for Analysis and Scientific Computing of the Vienna University of Technology.

Participants are:

• Harald Woracek (applicant, principal investigator)
• Raphael Pruckner (co-author, PostDoc)

Project collaborators are:

• Matthias Langer (University of Strathclyde, UK)
• Anton Baranov and Roman Romanov (St.Petersburg State University, Russia)

Read more on the website of the project...

Download Abstract [pdf], Proposal  [pdf]

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Joint Project "The order problem for canonical systems"

This research project, running from 1.3.2014 till 23.12.2017, is a Joint Project between the Austrian and Russian Science foundations (FWF and RFBR), and is led by the Vienna University of Technology on the austrian side and the St.Petersburg State University on the russian side. The Austrian Team (funded by the FWF) consists of 

• Harald Woracek (principal investigator), Vienna University of Technology
• Michael Kaltenbäck, Vienna University of Technology
• Peter Yuditskii, Johannes Kepler University Linz
• Raphael Pruckner (Ph.D.-candidate, supervisor H.Woracek)

The Russian Team (funded by the RFBR) consists of

• Anton Baranov (principal investigator), St.Petersburg State University
• Roman Romanov, V.Fock Institute for Physics
• Yurii Belov, Chebyshev Laboratory

Read more on the website of the project...

Download Abstract [pdf], Proposal/extended version  [pdf]

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Scientific and Technological Cooperation"Probabilistic Universal Algebra"

This research project started 1.7.2018 and is a scientific cooperation between Austria and Macedonia founded by the OEAD (Österreichischer Austauschdienst) and the Ministry of Education and Science of the Republic of Macedonia. The Austrian Team consists of 

• Harald Woracek (principal investigator), Vienna University of Technology
• Ana Sokolova, University of Salzburg
• Raphael Pruckner, Vienna University of Technology
• Sebastian Arming, University of Salzburg

The Macedonian Team consists of

• Lidija Goracinova-Ilieva (principal investigator), FON-University Skopje
• Verica Bakeva, Ss Cyril and Methodius University
• Smile Markovski, Ss Cyril and Methodius University

Download Abstract [pdf], Proposal  [pdf]

I am a big fan of chalk & blackboard

I may point your attention to an interesting article by V.Peller concerning the difficult task of presenting mathematics which is available from [arXiv].

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A recent seminar talk:

• High-energy behavior of the Weyl coefficient of a canonical system. [video]).
  Seminar talk at the Chebyshev Laboratory, January 23, 2020, St.Petersburg, Russia.

For some purposes (e.g. survey talks), slides or beamer presentations certainly do have their advantages.

• Directing functionals and de Branges space completions in almost Pontryagin spaces. [pdf]
  Lecture given at the conference "The fifth Najman conference on spectral theory and differential equations", September 10-15, 2017, Opatija, Croatia.


• Stability of order and type of a measure. [pdf]
  Lecture given at the conference "Hilbert spaces of entire functions and their applications", May 22-26, 2017, at the Polish Mathematical Conference Center, Bedlewo, Poland.


• Order and Type of Canonical Systems. A Survey. [pdf]
  Lecture given at the conference "Operator Theory, Analysis and Mathematical Physics", August 2-7, 2016, at the Euler International Mathematical Institute, St.Petersburg, Russia.


• Stability of the derivative of a canonical product. [pdf]
  Lecture given at the conference "23rd St.Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis", June 25-30, 2014, The Euler International Mathematical Institute, St.Petersburg, Russia.


• Reproducing kernel almost Pontryagin spaces. [pdf]
  Lecture given at the conference "Noncommutative Analysis Operator Theory and Applications", June 23-27, 2014, Politecnico di Milano, Milano, Italy.


• Spectral theory of a class of canonical systems with two singular endpoints. [pdf]
  Lecture given at the meeting "Komplexe Analysis und/et Theorie Spectrale", May 12-13, 2014, Johannes Kepler University, Linz, Austria, and at a seminar of the University of Vienna, October 30, 2014.


• Direct and Inverse Spectral Problems for 2-dimensional Hamiltonian Systems. [pdf] (version for [printout]).
  Seminar talk at the Dublin Institute of Technology, April 18, 2013, Dublin, Ireland.


• Indefinite de Branges' theory and differential operators with singular coefficients. [pdf]
  Lecture given at the meeting "Short Courses and Workshop on Hilbert Spaces of Entire Functions and Spectral Theory of Self-adjoint Differential Operators", May 30-June 4, 2011, Centre de Recerca Matematica, Bellaterra, Spain.


• Indefinite Canonical Sytems. Theory and Examples. [pdf]
  Lecture given at the "International Workshop on Operator Theory and its Applications (IWOTA)", July 3-6, 2007, Potchefstroom, South Africa.

• R.PRUCKNER, H.WORACEK: Limit behaviour of Nevanlinna functions,
  Preprint available as pdf
  Extended preprint: pdf


• M.LANGER, H.WORACEK: Direct and inverse spectral theorems for a class of canonical systems with two singular endpoints. Part 1: General Theory,
  Preprint available as (55 pp.) pdf


• M.LANGER, H.WORACEK: Direct and inverse spectral theorems for a class of canonical systems with two singular endpoints. Part 2: Applications to Sturm-Liouville Equations,
  Preprint available as (39 pp.) pdf

Papers in refereed journals

1. R.ROMANOV, H.WORACEK: Canonical systems with discrete spectrum,
   J. Funct. Anal. 278(4) (2020), 108318 (44p).
   Available as pdf



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2. A.BARANOV, H.WORACEK: Stability of order and type under perturbation of the spectral measure,
   Revista Mathematica Iberoamericana 35(4) (2019), 963-1026.
   Available as pdf
   Extended preprint: pdf


3. R.PRUCKNER, H.WORACEK: Estimates for order of Nevanlinna matrices and a Berezanskii-type theorem,
   Proc. Edinburgh Math. Soc. 117(3-4) (2020), 199-213.
   Available as pdf
   Extended preprint: pdf



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4. H.de SNOO, H.WORACEK: The Krein formula in almost Pontryagin spaces. A proof via orthogonal coupling,
   Indag. Math. 29 (2018), 714-729.
   Available as pdf


5. H.de SNOO, H.WORACEK: Compressed resolvents, Q-functions and h₀-resolvents in almost Pontryagin spaces,
   Oper. Theory Adv. Appl. 263 (2018), 425-484.
   Available as pdf


6. A.SOKOLOVA, H.WORACEK: Proper Semirings and Proper Convex Functors,
   21st International Conference on Foundations of Software Science and Computation Structures (FoSSaCS) 2018, LNCS 10803 (2018), 331-347.
   Available as pdf


7. A.SOKOLOVA, H.WORACEK: Termination in Convex Sets of Distributions,
   Logical Methods in Computer Science 14(4:17) (2018), 1-28.
   Available as pdf


8. H.WORACEK: Perturbation of chains of de Branges spaces,
   Journal d'Analyse Mathematique 135 (2018), 271-312.
   Available as pdf



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9. R.PRUCKNER, R.ROMANOV, H.WORACEK: Bounds on order of indeterminate moment sequences,
   Constr. Approx. 46 (2017), 199-225.
   Available as pdf
   Extended version: pdf


10. A.SOKOLOVA, H.WORACEK: Termination in Convex Sets of Distributions,
    Proceedings of the 7th Conference on Algebra and Coalgebra in Computer Science, LIPICS 72 (2017), 22:1-22:16.
    Available as pdf


11. H.WORACEK: Directing functionals and de Branges space completions in the almost Pontryagin space setting,
    Advances in Complex Analysis and Operator Theory, Trends in Mathematics (2017), 347-398.
    Available as pdf



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12. H.de SNOO, H.WORACEK: Restriction and factorization for isometric and symmetric operators in almost Pontryagin spaces,
    Oper. Theory Adv. Appl. 252 (2016), 123-170.
    Available as pdf



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13. M.LANGER, H.WORACEK: Stability of N-extremal measures,
    Methods Funct. Anal. Topology 21(1) (2015), 69-75.
    Available as pdf


14. M.LANGER, H.WORACEK: Distributional representations of N_κ^∞-functions,
    Math. Nachr. 288(10) (2015), 1127-1149.
    Available as pdf


15. A.SOKOLOVA, H.WORACEK: Congruences of Convex Algebras,
    J. Pure Appl. Algebra 219 (2015), 3110-3148.
    Available as pdf


16. H.WORACEK: Asymptotics of eigenvalues for a class of singular Krein strings,
    Collect. Math. 66 (2015), 469-479.
    Available as pdf


17. H.WORACEK: De Branges spaces and growth aspects,
    Springer Reference, DOI 10.1007/978-3-0348-0692-3\_7-1.
    Available as pdf



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18. M.LANGER, H.WORACEK: Stability of the derivative of a canonical product,
    Complex Anal. Oper. Theory 8(6) (2014), 1183-1224.
    Available as pdf


19. S.SIMONOV, H.WORACEK: Spectral multiplicity of selfadjoint Schrödinger operators on star-graphs with standard interface conditions,
    Integral Equations Operator Theory 78 (2014), 523-575.
    Available as pdf


20. H.WINKLER, H.WORACEK: A growth condition for Hamiltonian systems related with Krein strings,
    Acta Sci. Math. (Szeged) 80 (2014), 31-94.
    Available as pdf


21. H.WORACEK: Reproducing kernel almost Pontryagin spaces,
    Linear Algebra Appl. 461 (2014) 271-317.
    Available as pdf


22. H.WORACEK: Entries of indefinite Nevanlinna matrices,
    Algebra i Analiz 26(5) (2014), 88-124 / St. Petersburg Math. J. 26 (2015), 757-783.
    Available as pdf



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23. A.BARANOV, H.WORACEK: De Branges' theorem on approximation problems of Bernstein type,
    J. Inst. Math. Jussieu 12(4) (2013), 879-899.
    Available as pdf


24. M.LANGER, H.WORACEK: Indefinite Hamiltonian systems whose Titchmarsh-Weyl coefficients have no finite generalized poles of non-negative type,
    Operators and Matrices 7(3) (2013), 477-555.
    Available as pdf


25. M.LANGER, H.WORACEK: The exponential type of the fundamental solution of an indefinite Hamiltonian system,
    Complex Anal.Oper.Theory 7(1) (2013), 285-312.
    Available as pdf


26. H.WINKLER, H.WORACEK: Symmetry in de Branges almost Pontryagin spaces,
    Integral Equations Operator Theory 76 (2013), 179-212.
    Available as pdf



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27. H.de SNOO, H.WORACEK: Sums, couplings, and completions of almost Pontryagin spaces,
    Lin. Alg. Appl. 437(2) (2012), 559-580.
    Available as pdf


28. H.WINKLER, H.WORACEK: Reparameterizations of non trace-normed Hamiltonians,
    Oper.Theory Adv.Appl. 221 (2012), 667-690.
    Available as pdf


29. H.WORACEK: An Inverse Spectral Theorem for M.G.Krein strings with a negative eigenvalue,
    Monatsh. Math. 167(1) (2012), 105-149.
    Available as pdf



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30. A.BARANOV, H.WORACEK: Majorization in de Branges spaces II. Banach spaces generated by majorants,
    Collect. Math. 62 (2011), 27-55.
    Available as pdf


31. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Pontryagin spaces of entire functions V,
    Acta Sci. Math. (Szeged) 77 (2011), 223-336.
    Available as pdf


32. M.LANGER, H.WORACEK: A function space model for canonical systems with an inner singularity,
    Acta Sci. Math. (Szeged) 77 (2011), 101-165.
    Available as pdf


33. M.LANGER, H.WORACEK: A local inverse spectral theorem for Hamiltonian systems,
    Inverse Problems 27 (2011) 055002, doi: 10.1088/0266-5611/27/5/055002, 17pp.
    Available as pdf


34. V.PIVOVARCHIK, H.WORACEK: Eigenvalue Asymptotics for a Star-Graph Damped Vibrations Problem,
    Asymptotic Analysis 73(3) (2011), 169-185.
    Available as pdf


35. H.WORACEK: Existence of zerofree functions N-associated to a de Branges Pontryagin space,
    Monatsh. Math. 162 (2011), 453-506.
    Available as pdf



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36. A.BARANOV, H.WORACEK: Majorization in de Branges spaces I. Representability of subspaces,
    J. Funct. Anal. 258 (2010), 2601-2636.
    Available as pdf


37. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Pontryagin spaces of entire functions VI,
    Acta Sci. Math. (Szeged) 76 (2010), 511-560
    Available as pdf



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38. A.BARANOV, H.WORACEK: Finite dimensional de Branges spaces generated by majorants,
    Oper. Theory Adv. Appl. 188 (2009), 37-48.
    Available as pdf


39. A.BARANOV, H.WORACEK: Majorization in de Branges spaces III. Division by Blaschke products,
    Algebra i Analiz 21(6) (2009), 3-46 / St.Petersburg Math. J. 21(6) (2010), 843-875.
    Available as pdf


40. A.BARANOV, H.WORACEK: Subspaces of de Branges spaces generated by majorants,
    Canad. J. Math. 61 (3) (2009), 503-517.
    Available as pdf
    Extended version: pdf


41. M.LANGER, H.WORACEK: Dependence of the Weyl coefficient on singular interface conditions,
    Proc. Edinburgh Math. Soc. 52 (2009), 445-487.
    Available as pdf


42. V.PIVOVARCHIK, H.WORACEK: Sums of Nevanlinna functions and differential equations on star shaped graphs,
    Oper. Matrices 3 (4) (2009), 451-501.
    Available as pdf


43. A.SOKOLOVA, E.de VINK, H.WORACEK: Coalgebraic weak bisimulation for action-type systems,
    Sci. Ann. Comput. Sci. 19 (2009), 93-144.
    Available as pdf



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44. H.WINKLER, H.WORACEK: On semibounded canonical systems,
    Lin. Alg. Appl. 429 (2008), 1082-1092.
    Available as pdf



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45. M.KALTENBÄCK, H.WINKLER, H.WORACEK: Strings, dual strings and related canonical systems,
    Math.Nachr. 280 (13-14) (2007), 1518-1536.
    Available as pdf


46. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Canonical differential equations of Hilbert-Schmidt type,
    Operator Theory Adv.Appl. 175 (2007), 159-168.
    Available as pdf


47. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Schmidt-representation of difference quotient operators,
    Operator Theory Adv.Appl. 171 (2007), 147-170.
    Available as pdf


48. V.PIVOVARCHIK, H.WORACEK: Shifted Hermite-Biehler functions and their applications,
    Integral Equations Operator Theory 57 (1) (2007), 101-126.
    Available as pdf


49. V.PIVOVARCHIK, H.WORACEK: The square transform of Hermite-Biehler functions. A geometric approach,
    Methods of Functional Analysis and Topology 13 (2) (2007), 187-200.
    Available as pdf



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50. A.BARANOV, H.WORACEK: Subspaces of de Branges spaces with prescribed growth,
    Algebra i Analiz 18 (5) (2006), 23-45 / St.Petersburg Math. J. 18 (2007), 699-716.
    Available as pdf


51. M.KALTENBÄCK, H.WINKLER, H.WORACEK: DeBranges spaces of entire functions symmetric about the origin,
    Integral Equations Operator Theory 56 (4) (2006), 483-509.
    Available as pdf


52. M.KALTENBÄCK, H.WINKLER, H.WORACEK: Generalized Nevanlinna functions with essentially positive spectrum,
    J.Oper.Theory 55 (1) (2006), 101-132.
    Available as pdf


53. M.KALTENBÄCK, H.WINKLER, H.WORACEK: Singularities of generalized strings,
    Operator Theory Adv.Appl. 163 (2006), 191-248.
    Available as pdf


54. M.KALTENBÄCK, H.WINKLER, H.WORACEK: Symmetric relations of finite negativity,
    Operator Theory Adv.Appl. 162 (2006), 191-210.
    Available as pdf


55. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Pontryagin spaces of entire functions IV,
    Acta Sci.Math. (Szeged) 72 (3/4) (2006), 709-835.
    Available as pdf


56. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Unique prime factorization in a partial semigroup of matrix-polynomials,
    Discussiones Mathematicae 26 (1) (2006), 21-43.
    Available as pdf



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57. M.KALTENBÄCK, H.WINKLER, H.WORACEK: Almost Pontryagin spaces,
    Operator Theory Adv.Appl. 160 (2005), 253-271.
    Available as pdf


58. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: DeBranges spaces of exponential type: General theory of growth,
    Acta Sci.Math (Szeged) 71 (1/2) (2005), 231-284.
    Available as pdf


59. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Hermite-Biehler functions with zeros close to the imaginary axis,
    Proceedings AMS 133(1) (2005), 245-255.
    Available as pdf


60. A.SOKOLOVA, E.DE VINK, H.WORACEK: Weak Bismulation for action type coalgebras,
    Electronic Notes in Theoretical Computer Science 122 (2005), 211-228; Extended Version as CS-Report 04/16, TU/e.
    Extended version available as pdf



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61. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Polya class theory for Hermite-Biehler functions of finite order,
    Journal of the London Math.Soc.(2) 68 (2003), 338-354.
    Available as pdf


62. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Pontryagin spaces of entire functions III,
    Acta Sci. Math. (Szeged) 69 (2003), 241-310.
    Available as pdf



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63. M.LANGER, H.WORACEK: A characterization of intermediate Weyl coefficients,
    Monatshefte für Mathematik 135 (2002), 137-155.
    Available as pdf



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64. H.WORACEK: De Branges spaces of entire functions closed under forming difference quotients,
    Integral Equations Operator Theory 37(2) (2000), 238-249.
    Available as pdf


65. H.WORACEK: Resolvent matrices in degenerated inner product spaces,
    Mathematische Nachrichten 213 (2000), 155-175.
    Available as pdf



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66. G.DORFER, H.WORACEK: Formal power series and some Theorems of J.F.Ritt,
    Monatsh. f. Math. 127 (1999), 277-293.
    Available as pdf


67. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: On representations of matrix valued Nevanlinna functions by u-resolvents,
    Mathematische Nachrichten 205 (1999), 115-130.
    Available as pdf


68. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Pontryagin spaces of entire functions I,
    Integral Equations Operator Theory 33 (1999), 34-97.
    Available as pdf


69. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Pontryagin spaces of entire functions II,
    Integral Equations Operator Theory 33 (1999), 305-380.
    Available as pdf


70. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: The Krein formula for generalized resolvents in degenerated inner product spaces,
    Monatshefte für Mathematik 127 (1999), 119-140.
    Available as pdf



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71. G.EIGENTHALER, H.WORACEK: A remark on permutable polynomials,
    Contributions to General Algebra 10 (1998), 139-142.
    Available as pdf


72. S.HASSI, H.DE SNOO, H.WORACEK: Some interpolation problems of Nevanlinna-Pick type. I. The Krein-Langer method,
    Oper. Theory Adv. Appl. 106 (1998), 201-216.
    Available as pdf


73. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Generalized resolvent matrices and spaces of analytic functions,
    Integral Equations Operator Theory 32 (1998), 282-318.
    Available as pdf


74. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: On extensions of hermitian functions with a finite number of negative squares,
    J. Operator Theory 40 (1998), 147-183.
    Available as pdf


75. H.LANGER, H.WORACEK: Resolvents of symmetric operators. The degenerated Nevanlinna-Pick problem,
    Oper. Theory Adv. Appl. 103 (1998), 233-261.
    Available as pdf



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76. M.KALTENBÄCK, H.WORACEK: Selfadjoint extensions of symmetric operators in degenerated inner product spaces,
    Integral Equations Operator Theory 28 (1997), 289-320.
    Available as pdf


77. H.WORACEK: Multiple point interpolation in Nevanlinna-classes,
    Integral Equations Operator Theory 28 (1997), 97-109.
    Available as pdf


78. H.WORACEK: Nevanlinna-Pick interpolation: the degenerated case,
    Linear Algebra and its Applications 252 (1997), 141-158.
    Available as pdf



---



79. H.WORACEK: A remark on affine complete rings,
    Studia Scientiarum Mathematicarum Hungaricae 32 (1996), 103-106.
    Available as pdf


80. H.WORACEK: On the existence of congruence-uniform structures on universal algebras,
    Algebra Universalis 36 (1996), 141-158.
    Available as pdf



---



81. G.EIGENTHALER, H.WORACEK: Permutable polynomials and related topics,
    Contributions to General Algebra 9 (1995), 163-182.
    Available as pdf


82. H.WORACEK: An operator theoretic approach to degenerated Nevanlinna-Pick interpolation,
    Mathematische Nachrichten 176 (1995), 335-350.
    Available as pdf


83. H.WORACEK: Inductive topologies in universal algebras,
    Contributions to General Algebra 9 (1995), 325-331.
    Available as pdf

Diploma (Master-) thesis

• H.WORACEK: Polynomfunktionen und Interpolation in kommutativen Ringen mit Einselement,
  Vienna University of Technology, 1992
  Available as pdf

Doctoral (PhD-) thesis

• H.WORACEK: Das verallgemeinerte Nevanlinna-Pick Problem im entarteten Fall,
  Vienna University of Technology, 1993
  Available as pdf

Habilitation thesis

• H.WORACEK: Generalized resolvents in degenerated inner product spaces and applications,
  Vienna University of Technology, 1998
  Available as pdf

Mündliche Prüfungen während des Semesters:

Termine gibt es einmal pro Woche (ausser ich bin auf einer Dienstreise/Urlaub/oder ähnliches). Anmeldung bei mir per email: Sie schicken mir die von Ihnen gewünschte WOCHE. Sie bekommen dann nach Anmeldeschluss der entsprechenden Woche einen Termin (falls noch einer frei ist) von mir per email.

ANMELDESCHLUSS ist jeweils eine Woche vor der gewünschten Woche.
Also: wenn Sie in der Kalenderwoche X antreten wollen melden Sie sich spätestens am letzten Tag der Kalenderwoche X-2 an.

Mündliche Prüfungen während der Ferien:

In den Semesterferien und Sommerferien -- Information dazu immer hier am Beginn der Ferien. In den Weihnachts- und Osterferien keine Termine.

Sommerferien 2023:

• Mittwoch 5.7.2023
• Dienstag 25.7.2023
• Dienstag 26.9.2023

Alle die sich anmelden bekommen einen Termin. Sollte ein Termin voll sein und sich weiter Studierende anmelden, werde ich auch an einem angrenzenden Tag prüfen.

ANMELDESCHLUSS ist jeweils eine Woche vor dem Termin.

Durchführung mündlicher Prüfungen:

Derzeit in Präsenz.

Bei online Modus: via zoom video call. Eine konstante Video Verbindung ist dabei obligatorisch. Kontaktdaten schicke ich Ihnen per email bei der Terminvereinbarung. Notwendige technische Voraussetzungen sind: ein Laptop/Tablet/Desktop/Mobiltelefon mit Kamera und Mikrophon und eine stabile internet Verbindung.

Falls wieder auf online gewechselt werden muss, bekommen Sie diese Information mit der Terminbestätigung.

---

Schriftliche Prüfungen:

Derzeit in Präsenz.

Terminankündigung und Anmeldung zu schriftlichen Prüfungen ausschliesslich im TISS !

Falls wieder auf online gewechselt werden muss, sehen Sie diese Information bei der Anmeldung in TISS oder (bei kurzfristig notwendigen Wechsel) bekommen diese per email rechtzeitig vor dem Termin.
Auch für online durchgeführte Termine ist eine Anmeldung im TISS verpflichtend.

Durchführung schriftlicher Prüfungen im online Modus:

Es klingt alles vielleicht ein bisschen umständlich, ist aber sicher halb so schlimm. Auf jeden Fall lesen Sie die folgenden Richtlinien RECHTZEITIG und VOLLSTÄNDIG und AUFMERKSAM durch !

-- Sie brauchen

• PC/Notebook/Tablet mit einer Kamera und einem Mikrophon;
• einen stabilen Internetzugang;
• einen Prüfungsraum, den Sie zur Prüfung allein nutzen;
• einen Studentenausweis oder amtlichen Lichtbildausweis;
• ein geeignetes tool oder app um schriftliche Ausarbeitungen zu scannen (oder zu photographieren) und ein pdf-file daraus zu machen;
• Zetteln und Schreibmaterial.

-- Sie müssen

• die Kamera so positionieren, dass permanente Sicht auf Sie und Ihren Schreibtisch gewährleistet ist;
• während des gesamten Dauer der Prüfung eine konstante Video- und Audio-Verbindung aufrechterhalten;
• sicherstellen, dass keine Störungen (Telefon/Besuche etc.) während der Prüfungsdauer auftreten;
• die folgende eidestattliche Erklärung ausfüllen und unterschreiben: Erklärung (pdf).

-- Ablauf der Prüfung:

• ich richte ein zoom-meeting ein, und sende Ihnen kurz vor Beginn der Prüfung (Termin und Uhrzeit wie in TISS angegeben) per email die Zugangsdaten;
• sie treten dem meeting bei, dabei kommen Sie zuerst in das Wartezimmer;
• es erfolgt eine Anwesenheits- und Identitätsfeststellung zu der Sie nacheinander vom Wartezimmer in das meeting hereingeholt werden, angesprochen werden, und Ihren Ausweis vorzeigen;
• ich sende Ihnen per email die Prüfungsangaben, zur Bestätigung des Erhaltes schicken Sie mir diese email zurück (einfach nur auf reply drücken);
• danach haben Sie 120 Minuten Zeit um die Aufgaben zu lösen;
• sollten es Unklarheiten betreffend der Angaben geben, schreiben Sie mir im chat des zoom-meetings;
• nach Ablauf der Prüfungszeit scannen Sie alle von Ihnen beschriebenen Blätter;
• Sie produzieren ein zusammenhängendes pdf-file: die erste Seite ist die von Ihnen ausgefüllte und unterschriebene eidesstattliche Erklärung, danach folgen Ihre Ausarbeitungen der Aufgaben; als filename verwenden Sie dabei das Format ``Nachname-Vorname-Matr.Nr-Seitenanzahl'' (z.B. Woracek-Harald-8725018-10.pdf);
• Sie laden das file auf einen TU-internen cloud server hoch (upload link bekommen Sie in der vor der Prüfung gesendeten email gemeinsam mit den Zugangsdaten)
• ich bestätige Ihnen im zoom-meeting dass ich Ihr file mit der angegeben Seitenanzahl erhalten habe, und erst damit ist die Prüfung für Sie beendet und Sie können das zoom meeting verlassen;
• sie können die Prüfung jederzeit auch früher beenden, dazu schreiben Sie mir im Chat dass Sie aufhören wollen, und ich sage Ihnen dann Bescheid wie Sie weiterverfahren.

-- Achtung:

• ich verwende bei jeglicher Kommunikation betreffend der Prüfung ausschliesslich Ihre bei der Prüfungsanmeldung in TISS angegebene email Adresse (meistens ist das die generische e[Matr.Nr]@student Adresse);
• einzelne Bilder, oder Dateien anderen Formates als pdf, dürfen nicht verschickt oder hochgeladen werden: nur ein zusammenhängendes pdf Dokument;
• für die Erstellung des pdf-files haben Sie nach Ablauf der Prüfungszeit ca. 5 Minuten Zeit (ich zähle da sicher nicht die Sekunden);
• die Verwendung jeglicher Hilfsmittel (Computer, Taschenrechner, Mobiltelefon u.Ä.m.), Unterlagen (Skripten, Videos, Formelsammlungen, Wikipedia u.Ä.m.), sowie die Kommunikation mit dritten Personen ist generell NICHT gestattet;
• das Verlassen des Prüfungsraumes vor Beendigung der Prüfung ist generell NICHT gestattet;
• pro Teilnehmer wird nur ein Gerät für das zoom-meeting zugelassen;
• planen Sie für die Prüfung mehr Zeit als die angegebenen 2 Stunden ein, sie haben 120 Minuten reine Arbeitszeit und dazu kommt noch die Anwesenheitskontrolle und Abgabe.

-- Bitte:

• verwenden auch Sie bei jeglicher Kommunikation betreffend der Prüfung ausschliesslich Ihre bei der Prüfungsanmeldung in TISS angegebene email Adresse;
• probieren Sie Ihr technisches setup vor der Prüfung einmal aus;
• bewahren Sie Ihre schriftlichen Ausarbeitungen solange auf, bis Sie die Note des schriftlichen Teils erfahren haben;

-- Ergebnisse:

• nachdem ich Ihre Prüfung korrigert habe, sende ich Ihnen das Ergebnis per email;
• üblicherweise liegen die Ergebnisse bis ca 1 Woche nach dem Prüfungstermin vor; wenn viele Kandidaten antreten kann es auch einmal etwas länger dauern.
• nach Bekanntgabe der Ergebnisse haben Sie das Recht auf Einsicht: sollte das Ergebnis stark von dem abweichen was Sie erwartet hätten und Sie sich wundern wo Sie Punkte liegengelassen haben, kontaktieren Sie mich per email; dann erkläre ich Ihnen wie Ihre Note zustandegekommen ist;
• wenn Sie den schriftlichen Teil positiv abgelegt haben, können Sie sich zum mündlichen Teil anmelden.

Anmeldung:

Eine Anmeldung zur EIMA ist nicht erforderlich.

Zeit, Ort:

Begrüßung durch den Studiendekan und Besprechung des organisatorischen Ablaufes:

• Mittwoch 1.3, 12'15 - 13'00, EI 8 Pötzl HS

Die EIMA Vorlesung findet statt geblockt in den Kalenderwochen 9 und 10 an den folgenden Terminen:

• Mittwoch 1.3, 13'00 - 15'00, EI 8 Pötzl HS
• Mittwoch 1.3, 16'15 - 18'00, HS 14A Feuerstein
• Donnerstag 2.3, 12'15 - 14'00, EI 4 Reithoffer HS
• Donnerstag 2.3, 14'15 - 16'00, EI 4 Reithoffer HS
• Dienstag 7.3, 12'15 - 14'00, EI 8 Pötzl HS
• Mittwoch 8.3, 12'45 - 15'00, EI 8 Pötzl HS

Die beiden Übungseinheiten finden statt in den Kalenderwochen 10 und 11 in jeweils zwei Gruppen:

• Gruppe EIMA 1: Sem.R. DA grün 05
• Gruppe EIMA 2: Sem.R. DB gelb 09

Die Gruppeneinteilung ergibt sich wie folgt:

• Alle bei der "Analysis 1 UE" in Gruppe 1 oder 3 angemeldeten Teilnehmer gehen in Gruppe EIMA 1,
• alle bei der "Analysis 1 UE" in Gruppe 2 angemeldeten Teilnehmer gehen in Gruppe EIMA 2,
• alle bei der "Analysis 1 UE" nicht angemeldeten Teilnehmer gehen in eine EIMA Gruppen ihrer Wahl.

Unterlagen:

Ein Skriptum zur Vorlesung in gedruckter gebundener Form ist im Kopitu (Freihaus, roter Bereich, Erdgeschoss) erhältlich. Als pdf finden Sie es hier: Skriptum.

Dieses Skriptum ist nicht als reine Unterlage für die ersten zwei Wochen geschrieben, sondern als ausführlicher Begleiter den Sie in den ersten paar Semestern immer wieder konsultieren können.

Aufgaben für die Übungseinheiten finden Sie hier: Aufgaben. In der ersten Übungseinheit kommen die Aufgaben 1-10, in der zweiten die Aufgaben 11-20.

Literatur:

Aus der vielfältigen Literatur möchte ich die folgenden Bücher empfehlen:

1. Kevin Houston, "How to think like a mathematician"
2. Daniel J. Velleman, "How to prove it. A structured approach"

Beurteilung:

Um diese Lehrveranstaltung positiv zu absolvieren genügt es in mindestens einer der beiden Übungseinheiten anwesend zu sein. Die Anwesenheit wird direkt in den Übungseinheiten festgestellt. Es gibt weder eine Prüfung, noch werden etwaige in den Übungseinheiten erbrachten Leistungen bewertet.

Übungsmodus:

Vor der Übung:

• Sie bekommen für die jeweils nächste Übungseinheit Aufgaben, und lösen diese zu Hause.
• Sie bereiten sich dabei so vor, dass Sie die Aufgaben gemeinsam mit dem notwendigen theoretischen und technischen Umfeld verstanden haben, und sie möglichst frei an der Tafel präsentieren können. Ziel ist eine Aufgabe so erklären zu können, dass ein Zuhörer der die Aufgabe vorher nicht verstanden hat, sie nachher schon versteht.

In der Übung:

• Der Übungsleiter fragt wer die Aufgabe die gerade an der Reihe ist präsentieren kann, und wählt dann jemanden aus der die Aufgabe an der Tafel vorzeigt.
• Nach - oder auch während - der Tafelpräsentation werden etwaige Fragen aus dem Auditorium behandelt, etwaige Ergänzungen zu dem theoretischen Umfeld oder der Aufgabe selbst diskutiert, etwaige Ungenaugkeiten in der logischen Abfolge oder der schriftlichen Darstellung besprochen, etc.

Dieser Übungsmodus in den ersten beiden Wochen ist ''Softmodus'': sie können sich freiwillig bereiterklären eine Aufgabe zu präsentieren, und die Qualität Ihrer Präsentation fließt nicht in die Beurteilung ein. Sinn dessen ist es, dass Sie ohne Stress mit dem Ablauf einer Übung, Ihrem/Ihrer Übungsleiter/in, und dem Gefühl an der Tafel zu stehen, vertraut werden können.

Anmeldung:

Eine Anmeldung zur Vorlesung ist nicht erforderlich.

Zeit und Ort:

Die Vorlesung findet statt geblockt von 13.3.2023 bis 30.6.2023. Keine Vorlesung am 20.6 und 21.6.

• Dienstag, 12'15 - 14'00, EI 8 Pötzl HS
• Mittwoch, 12'15 - 14'45 (mit 15 minütiger Pause), EI 8 Pötzl HS

Unterlagen:

Der Vorlesungsstoff ist dem Buch Fundament Analysis von M.Kaltenbäck entnommen. Dieses Buch erhalten Sie in gedruckter Form im Buchhandel, oder als pdf auf der website von M.Kaltenbäck.

Literatur:

Es gibt nahezu unendlich viele Lehrbücher zur Analysis, und da findet sicher jeder sein Lieblingsbuch. Ich möchte nur eines anführen, welches ich für sehr gut erachte:

• W.Rudin: Principles of mathematical analysis

Ich möchte Sie an dieser Stelle explizit dazu ermuntern in diversen Büchern oder sonstigen Quellen zu stöbern. Dinge von mehreren Seiten zu sehen und Inhalten in verschiedensten Weisen erklärt zu bekommen ist sehr förderlich.

Prüfung:

Die Prüfung zur Vorlesung ist schriftlich und mündlich (bezüglich Terminen und Anmeldemodalitäten siehe diese Seite). Die ersten für Sie möglichen schriftlichen Prüfungstermine werden Ende Juni und Ende September 2023 sein. Mündliche Termine dann im Anschluss. Es ist empfohlen die mündliche Prüfung möglichst zeitnah nach der schriftlichen abzulegen. Prüfungsstoff ist was in der Vorlesung gemacht wurde (und nicht was in einem Buch, Skriptum, o.ä. drinnen steht). Bei der ersten schriftlichen Prüfung (die Ende Juni stattfindet, siehe TISS) ist der Stoff der letzten Vorlesungswoche (das ist die KW 26) ausgenommen.

Bei der schriftlichen Prüfung haben Sie Aufgaben ähnlich zu den in der Übung behandelten zu lösen. Üblicherweise gibt es vier Aufgaben und Sie haben dafür 120 Minuten Arbeitszeit. Beim mündlichen Prüfungsteil werden Definitionen, Sätze, Lemmas, Beweise, Zusammenhänge, etc. abgefragt. Die Verwendung jeglicher externer Hilfsmittel ist bei Prüfungen nicht gestattet.

Midterm exam:

Nach der Hälfte des Semesters biete ich Ihnen an eine Prüfung im Stil der normalen schriftlichen Prüfung zum Stoff der ersten Semesterhälfte zu schreiben. Das soll Ihnen die Möglichkeit geben Ihren Wissensstand zu überprüfen und die Situation einer schriftlichen Prüfung kennenzulernen. Die Teilnahme an diesem midterm exam ist freiwillig, und ihre dabei erbrachte Leistung wird nicht zu irgendeiner Beurteilung oder Notengebung herangezogen. Dieses exam hat also rein informellen Charakter, und hat formal nichts mit der tatsächlichen Prüfung bzw. einer erfolgreichen Absolvierung der LVA zu tun.

• Termin: Dienstag 16.5. Beginn 18'00 (reine Arbeitszeit: 60 Minuten)
• Ort: FH HS 5 (Freihaus grün, 2.Stock)
• Stoff: VO+UE bis einschliesslich Kalenderwoche 19
• Anmeldung: Da diese Prüfung informellen Charakter hat, ist keine Anmeldung erforderlich

Als Bonus möchte ich jenen Studierenden die schriftliche und mündliche Prüfung gleich im Anschluss an die Vorlesung machen (sprich, an einem der Termine Juli oder September 2023), und die das explizite wünschen, ihr midterm exam als halbe schriftliche Prüfung anrechnen. Das formale Prozedere ist, dass Sie gegebenenfalls bei der schriftlichen Prüfung auf die Angabe schreiben ``midterm exam ANRECHNEN'', dann nur die auf der Angabe als ``zweite Hälfte'' ausgewiesenen Aufgaben rechnen und nach 60 Minuten abgeben.

Termine und Anmeldung:

Die Übung findet statt in zwei Gruppen an dreizehn Terminen zu je 90 Minuten, jeweils Mittwoch 16-18 beginnend mit 22.3.

• Gruppe 1: Sem.R. DA grün 05
• Gruppe 2: Sem.R. DB gelb 09

Anmeldung in TISS bis 8.3. Nach Ende der Anmeldefrist ist eine Anmeldung, Abmeldung, oder Gruppentausch (d.h., zwei Personen aus unterschiedlichen Gruppen tauschen ihre Gruppenzugehörigkeit) nur mehr in begründeten Ausnahmefällen nach persönlicher Rücksprache mit mir möglich.

Stoff und Unterlagen:

Die Übungsaufgaben werden hier (spätestens eine Woche vor dem jeweiligen Termin) zum download bereitgestellt.

• 1.Übung (22.3): Aufgaben 01/1 - 01/6
• 2.Übung (29.3): Aufgaben 02/1 - 02/6
• 3.Übung (19.4): Aufgaben 03/1 - 03/6
• 4.Übung (26.4): Aufgaben 04/1 - 04/6
• 5.Übung (3.5): Aufgaben 05/1 - 05/6
• 6.Übung (10.5): Aufgaben 06/1 - 06/6
• 7.Übung (17.5): Aufgaben 07/1 - 07/6
• 8.Übung (24.5): Aufgaben 08/1 - 08/6
• 9.Übung (31.5): Aufgaben 09/1 - 09/6
• 10.Übung (7.6): Aufgaben 10/1 - 10/6
• 11.Übung (14.5): Aufgaben 11/1 - 11/6
• 12.Übung (21.5): Aufgaben 12/1 - 12/6
• 13.Übung (28.5): Aufgaben 13/1 - 13/6

Wenn jemand, aus reiner Freude am rechnen oder zur Prüfungsvorbereitung, weiteres Übungsmaterial haben möchte: hier sind alte Übungsangaben Aufgaben. Das sind die Beispiele die bei der Analysis 1 im Jahr 1997 zu rechnen waren. Passt natürlich nicht perfekt, aber es findet sich sicher vieles was man machen kann. Andere gute Quellen für Übungsaufgaben sind natürlich Lehrbücher.

Übungsmodus und Beurteilung:

Der Übungsmodus ist "Kreuzlübungen", d.h.:

(1) Sie bekommen wöchentlich für die jeweils nächste Übung Aufgaben, und lösen diese zu Hause.

(2) VOR der Übung kreuzln Sie in dem zur Übung gehörigen TUWEL Kurs jene Beispiele an, die Sie lösen konnten UND gemeinsam mit dem notwendigen theoretischen Umfeld soweit verstanden haben, dass Sie sie im Detail erklären können.

(3) In der Übung ruft der Übungsleiter zu den Aufgaben Teilnehmer auf, die die jeweilige Aufgabe dann an der Tafel präsentieren.

Beurteilung:

Beurteilt werden alle jene Teilnehmer die mindestens eine Tafelleistung erbracht haben oder an mindestens drei Übungseinheiten teilgenommen haben. Für eine positive Note ist es notwendig und hinreichend in jeder Übungseinheit mindestens 4 Aufgaben angekreuzt zu haben und im Laufe des Semesters mindestens 3 positive Tafelleistungen erbracht zu haben.

Sind die Kriterien für eine positive Beurteilung erfüllt, ergibt sich die Note aus einer Kombination der Anzahl der angekreuzten Beispiele und der Qualität der Tafelleistungen.

Nachbringen versäumter Übungen:

In Übungen gilt prinzipiell Anwesenheitspflicht. Sie können jedoch ohne weitere Begründung eine Übungseinheit versäumen; diese muss dann im Rahmen eines Kolloquiums nachgeholt werden. Dazu vereinbaren Sie mit Ihrem Übungsleiter einen Termin. Nachgeholte Übungen zählen nicht als Tafelleistung.

Wenn Sie aus triftigen und nachweislichen Gründen, z.B. Spitalsaufenthalt etc., (nicht jedoch z.B. Reisetätigkeit, nebenberufliche Termine, etc.) mehrere Übungen versäumen, wird im Einzelfall eine Vorgangsweise festgelegt um Ihnen trotzdem einen positiven Abschluss der Übung zu ermöglichen. Das besprechen Sie dann persönlich mit Ihrem Übungsleiter.

Anmeldung:

Eine Anmeldung zum Repetitorium ist nicht erforderlich.

Zeit und Ort:

Das Repetitorium findet statt von 13.3.2023 bis 30.6.2023 jeweils Mittwoch 11'00 - 11'45 im Seminarraum 107/1. Kein Repetitorium am 21.6. Zusatztermin: Dienstag 27.6, 18'00 - 19'00 im Sem DA gruen 03A.

Inhalt und Abhaltemodus:

Sinn des Repetitoriums ist

• ihre Fragen zum Stoff der Vorlesung und der vergangenen Übungseinheiten zu beantworten;
• das weitere Umfeld der Vorlesungsinhalte zu diskutieren;
• spontan Inhalte oder Beispiele vertiefend und/oder detaillierter zu besprechen.

Es werden im Repetitorium NICHT Übungsaufgaben zukünftiger Übungen erklärt, und die im Repetitorium besprochenen Dinge gehören NICHT zum Prüfungsstoff der Vorlesung.

Beurteilung:

In jedem Repetitorium wird die Anwesenheit festgestellt. Wer regelmässig teilnimmt (an mindestens 2/3 der Termine) bekommt ein positives Zeugnis. Dieses kann als freies Wahlfach verwendet werden.

Unterlagen:

Hier ist ein Skriptum zur Vorlesung. Es wurde von Hr.Johannes Mader nach meiner Vorlesung im Wintersemester 2017/18 verfasst. Im wesentlichen gehe ich nach diesem Skriptum vor, aber vielleicht entwickelt sich auch einmal das eine oder andere etwas anders.

Wenn Sie Fehler im Skriptum finden, sagen Sie mir bitte Bescheid. Das Skriptum wird laufend überarbeitet und ich bin für alle Infos dankbar.

Video Lectures:

Hier finden Sie die links zu den Vorlesungsvideos.

• Lecture 01: 4.10.2021
  Video: nicht vorhanden...leider hat die Technik nicht funktioniert.


• Lecture 02: 5.10.2021
  Video: youtube


• Lecture 03: 11.10.2021
  Video: youtube


• Lecture 04: 12.10.2021
  Video: youtube


• Lecture 05: 20.10.2021
  Video (part 1): youtube
  Video (part 2): youtube


• Lecture 06: 27.10.2021
  Video (part 1): youtube
  Video (part 2): youtube


• Lecture 07: 3.11.2021
  Video (part 1): youtube
  Video (part 2): youtube


• Lecture 08: 10.11.2021
  Video (part 1): youtube
  Video (part 2): youtube


• Lecture 09: 17.11.2021
  Video (part 1): youtube
  Video (part 2): youtube


• Lecture 10: 24.11.2021
  Video (part 1): youtube
  Video (part 2): youtube


• Lecture 11: 6.12.2021
  Video: youtube


• Lecture 12: 15.12.2021
  Video (part 1): youtube
  Video (part 2): youtube


• Lecture 13: 12.1.2022
  Video (part 1): youtube
  Video (part 2): youtube


• Lecture 14: 17.1.2022
  Video: youtube


• Lecture 15: 19.1.2022
  Video: youtube


• Lecture 16: 26.1.2022
  Video: youtube

Literatur:

Aus der vielfältigen Literatur möchte ich die folgenden Bücher empfehlen:

1. W.Rudin: Functional Analysis
2. J.B.Conway: A course in Functional Analysis

Weitere Literatur, die ich verwendet habe ist :

3. E.Kaniuth: A course in commutative Banach algebras
4. W.Kaballo: Grundkurs/Aufbaukurs Funktionalanalysis
5. T.Kato: Perturbation Theory for Linear Operators

Video Lectures:

Die Reihenfolge in der die Lectures hier nummeriert sind, ist eine - aber nicht die - mögliche Reihenfolge die Lectures anzuschauen. Die tatsächlichen logischen Abhängigkeiten sind im folgenden Diagram dargestellt: Abhängigkeitsgraph.

Die Gesamtdauer aller Video Lectures wird das Gesamtausmass der normalerweise im Hörsaal zur Verfügung stehenden Zeit jedenfalls nicht übersteigen.

Die Übungsaufgaben sind Lectures zugeordnet. Sie werden zeitlich so abgestimmt, dass die Dauer der Video Lectures die man für einen Übungstermin mindestens gesehen haben muss, kleiner ist als die Zeit welche bei Präsenzdurchführung im Hörsaal bis zu dem entsprechenden Termin zur Verfügung gestanden wäre (man beachte in diesem Kontext auch den Abhängigkeitsgraphen der Lectures).

Der Grossteil der Videos ist im Laufe des letzten Sommersemesters entstanden; daher gibt es schon etliche bug reports. Wenn Sie Fehler irgendwelcher Art in den Videos oder Unterlagen finden die noch nicht angeführt sind, bin ich für alle Hinweise dankbar. Dann kann ich es auf der website ergänzen und falls dringlich eine allgemeine Aussendung dazu machen.

Funktionalanalysis 1

• Lecture A01: Vervollständigung metrischer Räume
  
  Video [83']: youtube



• Lecture A02: Topologische Vektorräume
  
  Video [83']: youtube



• Lecture A03: Geometrie und Trennungseigenschaften
  
  Video [83']: youtube
  
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  # 53'53 - 59:30 #

  Diese Proposition gilt auch wenn man anstelle von komplexwertigen Funktionen Funktionen in einen beliebigen normierten Raum nimmt. Der Beweis ist wortwörtlich gleich.




• Lecture A04: Initiale und finale Konstruktionen
  
  Video [75']: youtube
  
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  # 18:25 #

  Wie der gebrachte Beweis zeigt, gilt Punkt (iii) ohne die Voraussetzung dass X selbst T₂ ist.




• Lecture A05: Endlichdimensionale Räume
  
  Video [54']: youtube
  Addendum [5']: (benötigt Lecture A04) youtube



• Lecture A06: Minkowski Funktionale
  
  Video [34']: youtube



• Lecture A07: Ein Fortsetzungssatz von Hahn-Banach
  
  Video [90']: youtube
  
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  # 26:55 #

  x soll hier aus \hat N (nicht aus X) sein.




• Lecture 01: Ein Trennungssatz von Hahn-Banach
  
  Video [55']: youtube
  
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  # 07:45 #

  f sollte g heissen

  # 27:40 #

  In der Fomulierung vom Satz muss es Re f sein und nicht nur f

  # 34:40 #

  Die Menge A+V[Schlange,Ringerl] und nicht A+V ist offen und konvex

  # 35:10 #

  Wieder Re f und nicht f




• Lecture 02: Konsequenzen des Hahn-Banach Trennungssatzes
  
  Video [37']: youtube



• Lecture 03: Der Satz von Baire
  
  Video [40']: youtube
  
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  # 10:10 #

  Die Norm von T_i x ist kleiner-gleich C

  # 22:49 #

  Im Index gehoert r_l sowie r_n




• Lecture 04: Der Satz von der offenen Abbildung
  
  Video [51']: youtube
  
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  # 12:25 #

  S=1 / \delta T anstelle von \delta T

  # 13:33 #

  ab hier S anstelle von T

  # 14:26 #

  x quer liegt in der offenen Einheitskugel

  # 14:30 #

  T\bar x anstelle von Tx

  # 30:39 #

  A ist eine Teilmenge von X

  # 35:43 #

  graph T anstelle von graph f

  # 37:03 #

  T anstelle von f




• Lecture 05: Schwache Topologien
  
  Video [40']: youtube
  
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  # 34:37 #

  Der Betrag des skalierten Elementes ist \leq c anstelle |f(x)| \leq c

  # 16:55 #

  ( 1 x n ) - Matrix




• Lecture 06: Beispiele schwacher Topologien
  
  Video [35']: youtube
  
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  # 15:02 #

  x in B und ungleich 0

  # 24:30 #

  Operatornorm




• Lecture 07: Operatortopologien
  
  Video [43']: youtube
  
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  # 18:17 #

  x in X_1

  # 18:38 #

  \| x \|_1

  # 19:17 #

  x in X_1

  # 21:20 -- 26:30 #

  Dieses Argument ist nicht schlüssig. Die Aussage stimmt - im wesentlichen - schon.
  Die richtige Aussage mit Beweis (ich hoffe es stimmt jetzt wirklich), die diesen Teil des Videos ersetzt, finden Sie hier (pdf).

  # 33:08 #

  im Supremum kommt \| \varphi(f) x_1 \|_2

  # 36:19 #

  alle f_i und f sind in X_1'




• Lecture 08: Lokal gleichmaessige Konvergenz
  
  Video [32']: youtube
  
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  # 14:45 #

  Bei beiden initialen Konstruktionen bemerke man dass der Durchschnitt der Kerne gleich Null ist

  # 17:49 #

  abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius 4/5

  # 18:13 #

  Beachte dass eine analytische Funktion die nicht ueberall Null ist, auch nicht auf der kleineren Kreisscheibe identisch Null sein kann.




• Lecture 09: Konstruktion von LCS
  
  Video [39']: youtube
  
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  # 22:08 #

  Die Projektion hat Index p_i anstelle von p

  # 29:50 #

  Das Minkowski Funktional \mu_V anstelle von \mu_C

  # 30:02 #

  Der Beweis das die Familie separierend ist ist hier schon fertig; das Argument bis #30:52# ist nicht falsch aber unnötig

  # 35:17 #

  Im Index rC anstelle von 1/r C




• Lecture 10: Der Bipolarsatz
  
  Video [49']: youtube
  
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  # 00:00 #

  heisst auf Deutsch offenbar eher Bipolarensatz

  # 27:55 #

  N anstelle von Y

  # 36:29 #

  \forall x\in M gilt <x,y>=0

  # 39:56 #

  bezueglich der Topologie \sigma(Y,\iota(X))

  # 41:55 #

  Analog wie beim Lemma kann man sogar den Annihilator des Abschlusses der linearen Huelle nehmen




• Lecture 11: Der Satz von Banach-Alaoglu
  
  Video [47']: youtube
  
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  # 15:13 #

  Das definieren und argumentieren mit h'_ {\alpha,\beta,y,z} ist richtig aber unnoetig. Einfacher definiere man gleich h als die Linearkombination der Projektionen: h_ {\alpha,\beta,y,z} := \alpha \pi_z +\beta \pi_z - \pi_ {\alpha,\beta,y,z}

  # 16:48 #

  Projektion angewandt auf \varphi(f) anstelle f

  # 18:34 #

  Das \varphi injektiv ist, ist klar aus der Definition




• Lecture 12: Reflexivitaet und der Satz von Goldstine
  
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  # 10:08 #

  \varphi^-1 ist wieder ein isometrischer Isomorphismus wenn \varphi ein solcher ist. Tatsaechlich wuerde das Argument auch funktionieren wenn \varphi nur als bijektiv vorausgesetzt wird, da \varphi^-1 dann nach dem Satz von der offenen Abbildung stetig ist und daher Anwendung von \mathcal F legitim ist.

  # 10:27 #

  Reihenfolge gehoert vertauscht. Mittels dieser Zeile schliesst man daher auf Existenz der Links-inversen.




• Lecture 13: Annihilatoren
  
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  # 21:01 #

  Die Faktortopologie ist die finale Topologie

  # 22:08 #

  Addition auf Funktionalen




• Lecture 14: Skalarprodukte und Orthogonalitaet
  
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  # 12:34 #

  Im Skriptum Polarisationsformel, hier kurz Polarformel benannt (direkt von polar identity).

  # 15:21 #

  - i (x,y)

  # 47:16 #

  \| . \| : X \to [0,\infty)

  # 54:10 #

  Achtung: Paare von Objekten werden als (x,y) bezeichnet, Skalarprodukt von Elementen wird als (x,y) bezeichnet. Beide Bezeichnungen sind absoluter Standard. Manchmal mischt es sich und dann muss man immer mitdenken was gerade was ist.

  # 62:03 #

  Mit dem gleichen Argument, nur die Stetigkeit von (.,.) in der zweiten Komponente benuetzend, erhaelt man dass ( \overline M )^\perp = M^\perp

  # 66:30 #

  Zerlegungen in direkte Summen entsprechen Projektionen




• Lecture 15: Hilbertraeume
  
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  # 11:25 #

  In der Parallelogrammregel fehlen die Quadrate

  # 13:00 #

  Dementsprechend auch in dieser Zeile Quadrate

  # 15:43 #

  Wieder fehlen in der Parallelogrammregel alle Quadrate

  # 16:46 #

  Dementsprechend auch in dieser Zeile Quadrate

  # 20:09 #

  Abstand zu x

  # 24:45 #

  Wir haben im Beweis von (i) gezeigt

  # 42:45 #

  \alpha_1 und \alpha_2 gehoeren konjugiert

  # 51:56 #

  Fuer y=0 ist diese Ungleichung sowieso erfuellt




• Lecture 16: Orthonormalbasen
  
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  # 16:58 #

  im Index \alpha \in A

  # 28:46 #

  auch in die Aussage inkludiert gehoert dass die Abbildung "Dach" wohldefiniert ist (sprich, in den l^2(A) hinein abbildet)

  # 33:33 #

  Man beachte hier und im Folgenden, dass aufgrund dieser Rechnung ein Orthonormalsystem linear unabhaengig ist.

  # 37:58 #

  Aufgrund von der Eigenschaften "eingeringelt 2" ist klein \psi isometrisch

  # 49:36 #

  Im Gegensatz zu seinem Originalplatz wo nur endlich viele der \xi_\alpha verschieden von Null sein duerfen, ist in dieser Zeile in dem mit der roten strichlierten Schlange herkopierten Ausdruck das Element (\xi_\alpha)_{\alpha\in A) beliebig in l^2(A)

  # 84:55 #

  Die Norm von p_n ist gleich 1 fuer alle n\in\mathbb N




• Lecture 17: Vervollstaendigung
  
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  # 6:33 #

  Ein Hilbertraum ist ein Raum mit positiv definitem Skalarprodukt der vollstaendig bzgl der vom Skalarprodukt induzierten Norm ist.

  # 9:49 #

  D sei dichter linearer Teilraum von X

  # 14:18 #

  Die Eindeutigkeit folgt bereits aus der Stetigkeit von F (und benoetigt nicht dass F gleichmaessig stetig ist)

  # 40:42 #

  Man muss wieder mit \iota in den richtigen Raum gehen: \iota \big( \lambda \cdot_X \iota^-1( \hat x ) \big)

  # 51:40 #

  Reihenfolge von \alpha und \beta gehoert vertauscht und bei der identischen Abbildung fehlt der domain. Es soll heissen \alpha \circ \beta = \id_{\hat X_2}

  # 59:43 #

  nach \mathbb C

  # 60:54 #

  Das Quadrat fehlt auf der rechten Seite

  # 62:07 #

  Hier muss man wieder darauf achten im richtigen Raum zu sein: ( \iota^-1( . ) , \iota^-1( . ) )

  # 62:38 #

  nach \mathbb C

  # 63:12 #

  nach \mathbb C

  # 64:11 #

  das Skalarprodukt auf der rechten Seite der Gleichungskette ist das in X, und das auf der linken Seite ist das neu definierte




• Lecture 18: Konjugierte Operatoren
  
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  # 01:51 #

  T^*y'

  # 05:03 #

  Bemerke hier auch, dass Bildung der Konjugierten linear ist: (T+S)^t = T^t +S^t , (\lambda\cdot T)^t = \lambda\cdot T^t

  # 08:37 #

  Die Norm von Tx ist das Supremum ueber den Betrag | y'(Tx) |. Genauso in allen Suprema in dem Argument bis # 12:30 # fehlen auch die Betraege.

  # 16:10 #

  Auch die Linearitaet uebertraegt sich auf die Einschraenkung: (T+S)' = T' +S' , (\lambda\cdot T)' = \lambda\cdot T'

  # 20:28 #

  Das Argument fuer den Beweis von (iii) hier ist richtig, aber schlecht ausgedrueckt. Besser so: Eine Menge ist Null, genau dann wenn ihr Annihilator der ganze Raum ist. Das besagt also ^\perp(M) = \{0\} genau dann wenn [ ^\perp(M) ]^\perp der ganze Raum ist. Nach (einer Folgerung aus) dem Bipolarsatz ist der zweifache Annihilator gleich der abgeschlossenen linearen Huelle von M, wobei sich der Abschluss bezueglich der von der Dualitaet induzierten schwachen Topologie versteht. Nun ist unser M selbst schon ein linearer Teilraum.

  # 20:59 #

  \ran T' ist ein linearer Teilraum (natuerlich nicht immer abgeschlossen)




• Lecture 19: Die Hilbertraumadjungierte
  
  Video [33']: youtube
  
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  # 27:30 #

  In dieser Zeile gehert anstelle von T bzw T^* ueberall U bzw U^*

  # 29:27 #

  U hat Rechts-inverse




• Lecture 20: Kompakte Operatoren
  
  (Teil 1) Video [35']: youtube
  
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  # 01:57 #

  Norm des Raumes Y

  # 10:29 #

  Die Dimension von \ran T (nicht von Y) ist endlich

  # 12:54 #

  Nullumgebung im Raum \ran T . Entsprechend: Im Raum \ran T gibt es eine kompakte Nullumgebung, und daher ist \dim\ran T<\infty

  # 28:52 #

  S \in K(Y,Z)

  
  
  (Teil 2) Video [41']: youtube



• Lecture 21: Das Spektrum
  
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  # 24:44 #

  y_n ist gleich diesem Ausdruck fuer n>0 . Fuer alle anderen n kann y_n beliebig sein, nur so dass die ganze Folge quadratisch summierbar ist.

  
  
  Video [24']: youtube
  
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  # 04:27 #

  Ist das Polynom p(z) konstant, so muss zusaetzlich \sigma(a) \neq\emptset vorausgesetzt werden damit p( \sigma(a) ) = \sigma(p(a)) gilt.

  # 18:58 #

  0 ist nicht im Spektrum von a^-1

  
  
  Video [18']: youtube
  
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  # 00:00 #

  Dieser Teil war urspruenglich bei Lecture 23 dabei, gehoert aber eigentlich hierher in den Kontext von Banachraeumen. Es gibt nur eine einzige Bemerkung die auf Hilbertraeume Bezug nimmt (ab # 04:17 #). Die kann man getrost erstmal ignorieren, und sich spaeter darueber Gedanken machen.




• Lecture 22: Die Resolvente
  
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  # 24:52 #

  \rho(a)

  # 31:49 #

  vor der Summe gehoert \frac{-1}{\lambda}

  # 42:47 #

  |\lambda| \to \infty

  # 45:13 #

  In diesem Beweisteil ist es der Satz von Hahn-Banach der als Werkzeug dient

  # 46:46 #

  Die Analytizitaet auf ganz C sieht man genauso indem man bei beliebigen Entwicklungspunkt das Funktional f in die bzgl der Norm konvergente Reihendarstellung der Resolvente hineinzieht.




• Lecture 23: Operatoren im Hilbertraum
  
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  # 03:53 #

  Man sollte besser sagen: mit manchen algebraichen Operationen vertraeglich

  # 29:51 #

  \geq \delta \| x \|^2

  # 53:15 #

  Die Existenz einer solchen affinen Transformation ist klar wenn (Tx,x) \neq (Ty,y). Gilt jedoch Gleichheit, gibt es ohnehin nichts zu beweisen.

  # 58:32 #

  Falsches Vorzeichen. Fuer's Argument ist's egal, trotzdem gehoert +\sin\varphi

  
  
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  # 04:45 #

  Die hier benuetzte Ungleichung \| T^*T \| \leq \| T^* \| \| T \| ist richtig, aber zu schwach. Damit ist die daraus in der naechsten Zeile hingeschriebene Folgerung \| T^2 \| = \| T \|^2 durch das angeschriebene Argument nicht bewiesen. Anstelle der zu schwachen Ungleichung, verwende man nochmals die ``rote'' Beziehung um zu schliessen, dass \| T^*T \|^2 = \| T \| ^4. Damit ist dann die hingeschriebene Folgerung tatsaechlich legitimisiert.

  # 08:27 #

  In der (Wiederholung der) Definition des Residualspektrums fehlt die Bedingung \ker ( T-\lambda ) = \{0\}




• Lecture 24: Spektrum kompakter Operatoren
  
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  # 05:24 #

  Die Bedingung T(M_n)\subseteq M_n folgt bereits wenn man alles andere hat (siehe das Argument ab # 19:23 #).

  # 09:09 #

  Hier ist Indexchaos: es soll heissen Tx_m - (T-\lambda_n)x_n

  # 19:59 #

  \lambda_n anstelle von λ

  # 21:00 - 26:30 #

  Beim Beweis vom Korollar Punkt (i) fehlt der Fall: \exists n mit \dim\ker(T-\lambda)^n=\infty.
  Das Argument ist auch in diesem Fall: wende die Proposition mit geeigneten Daten an. Nämlich wie folgt.
  Sei n minimal mit \dim\ker(T-\lambda)^n=\infty. Setze M_0=\ker(T-\lambda)^{n-1} falls n\geq 1 und M_0=\{0\} falls n=1. Wähle eine Folge M_1,M_2,\ldots von linearen Teilräumen von \ker(T-\lambda)^n mit M_{k-1}\subseteq M_k und \dim M_k=\dim M_0+k für alle k\geq 1. Setze \lambda_n=\lambda für alle n.

  # 31:19 #

  Bezeichne die Eigenvektoren mit e_n anstelle von x_n

  # 42:25 #

  Im Allquantor schreibe noch dazu x\in M. Also: \forall x\in M , \|x\|=1

  # 43:06 #

  Im Existenzquantor schreibe noch dazu x_n\in M. Also: \exists x_n\in M , \|x_n\|=1

  # 55:56 #

  Das Produkt ist versehen mit der Summennorm.




• Lecture 25: Der Satz vom abgeschlossenen Bild
  
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  # 01:14 #

  Raumverwechslung: \| . \|_Y

  # 01:43 #

  Ebenso: w^* Topologie auf X'

  # 01:55 #

  Ebenso: \| . \|_{X'}

  # 24:13 #

  Ebenso: (T')^-1 bildet ab von \ran T' auf Y'

  # 27:40 #

  Diesen Abschluss

  # 33:00 #

  \ran T' geschnitten mit der Kugel

  # 38:34 #

  Ist zwar das Gleiche (weil der Dualraum eines normierten Raumes gleich dem seiner Vervollstaendigung ist), aber man sollte eigentlich besser sagen: S' bildet ab von ( \overline{\ran T} )' auf




• Lecture 27: Multiplikationsoperatoren
  
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  # 02:33 #

  \mu soll ein endliches Maß sein. Tatsaechlich geht alles fuer \sigma-endliche Maße genauso, aber es braucht an manchen Stellen ein bischen mehr Technik.

  # 03:22 #

  hier ist 1 \leq p \leq \infty

  # 12:10 #

  hier und in der naechsten Zeile die Potenz hoch p vergessen

  
  
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  # 00:57 #

  Wir werden auch zeigen, dass \sigma(M_\phi)=\sigma_{app}(M_\phi)

  # 09:50 #

  Beweisgang wird ein bischen anders als hier angekuendigt

  # 28:41 #

  <\alpha_\lambda

  # 43:32 #

  hier habe ich den Fall p=\infty vergessen

  # 44:30 #

  oBdA sei K unendlich. Ist K endlich, so kann man eine Matrix mit Spektrum K nehmen.

  
  
  Video [27']: youtube
  
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  # 07:15 #

  Hier wird eigentlich eine allgemeine Tatsache gezeigt: hat T endlichdimensionales Bild, so ist \sigma(T) endlich.

  # 10:02 #

  Auch hier wird eine allgemeine Tatsache gezeigt: Stets gilt dass \phi^-1( \rho(M_\phi) ) eine \mu-Nullmenge ist.

Funktionalanalysis für WM/FAM

• Lecture 28: Der Spektralsatz fuer kompakte selbstadjungierte Operatoren
  
  (Teil 1) Video [33']: youtube
  
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  # 13:30 #

  Quadrat fehlt: \alpha_n |^2

  # 14:14 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 15:50 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 18:42 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 32:07 #

  In der Summe an der zweiten Stelle im Skalarprodukt: P_n y

  
  
  (Teil 2) Video [43']: youtube
  
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  # 26:11 #

  -\lambda e

  
  
  (Teil 3) Video [55']: youtube
  
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  # 11:05 #

  im Abschluss des Wertebereiches

  # 20:28 #

  T muss natuerlich auch nicht invertierbar sein, aber fuer uns hier ist relevant dass der Operator R nicht invertierbar sein muss.

  # 30:32 #

  Bemerke: die Wurzel A^{\frac 12} eines positiven kompakten Operators ist definiert als Reihe. Diese Reihe konvergiert in der Operatornorm und alle Partialsummen sind Operatoren mit endlichdimensionalem Bild. Also ist A^{\frac 12} kompakt.

  # 35:27 #

  W eingeschraenkt auf \ran R

  # 52:55 #

  Hier und im folgenden Term (# 53:12 #) gehoert s_n(T)^2




• Lecture 29: Der Satz von Krein-Milman
  
  (Teil 1) Video [39']: youtube
  
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  # 10:20 #

  Und die Menge aller Extremalpunkte von C heisst E(C)

  # 22:37 #

  \mathcal M ist die Menge aller S die extremal und kompakt sind

  # 38:14 #

  Dieser Durchschnitt ist also = \emptyset

  
  
  (Teil 2) Video [52']: youtube
  
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  # 34:57 #

  ist eine Teilmenge vom Komplement von L

  # 39:20 #

  Die Menge der Spalten die keinen 1er enthalten heisst J




• Lecture 30: Der Satz von Dunford-Pettis
  
  (Teil 1) Video [19']: youtube
  
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  # 00:33 #

  Im Integranden g anstelle von f.

  
  
  (Teil 2) Video [63']: youtube
  
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  # 13:04 #

  Im Integranden g anstelle von f.

  # 13:08 #

  Es ist praktischer wenn man hier \leq \epsilon nimmt.

  # 52:09 #

  \mu(A) < \frac 1n

  # 56:20 #

  Beachte hier, dass der Normabschluss der linearen Huelle gleich ihrem schwachen Abschluss ist

  
  
  (Teil 3) Video [44']: youtube
  
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  # 04:22 #

  Die Menge \mathcal F muss gleichgradig absolut stetig und beschraenkt sein

  # 07:00 #

  Die rot geschriebene Bedingung ist \forall g\in L^\infty(\mu) . \iota(f_i)(g) \to \phi(g)

  # 13:07 #

  Am Ende der Zeile fehlt ein Betragsstrich

  # 17:00 #

  Fuer alle epsilon gibt es N_0 sodass...

  # 18:15 #

  Um die absolute Stetigkeit zu zeigen, braucht man gar nichts

  # 22:54 #

  L^1( |\nu| )

  # 23:12 #

  Das erste Integral ist ∫ g d\nu. Und integriert wird jeweils ueber \Omega

  # 24:32 #

  Auch beim rechten Integral wird ueber \Omega integriert

  # 36:56 #

  w*-Abschluss




• Lecture 31: Fixpunktsatz von Brouwer
  
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  # 30:15 #

  das stimmt schon, wir werden aber die Retraktion einfacher erhalten weil R^n ein Hilbertraum ist




• Lecture 32: Fixpunktsatz von Schauder
  
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  # 17:46 #

  \beta(x) bezeichnet die Summe: \beta(x) = \sum_{i=1}^n \beta_i(x)




• Lecture 33: Fixpunktsatz von Kakutani-Fan-Glicksberg
  
  (Teil 1) Video [39']: youtube
  
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  # 31:22 #

  diese Bedingung braucht man eigentlich gar nicht

  # 34:36 #

  y_U(i) - U(i)

  # 35:11 #

  y_U(i) - U(i)

  
  
  (Teil 2) Video [41']: youtube
  
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  # 08:38 #

  dieses x ist ein anderes als das vorher und wird gleich umbenannt

  # 27:19 #

  Hier und in den folgenden Zeilen: f_l

Funktionalanalysis für TM

• Lecture 26: Der Satz von Krein-Smulian
  
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  # 04:58 #

  und mit der gleichen Schranke

  # 20:40 #

  Bidual von \ell^1

  # 42:44 #

  gewissen Polare (nicht Annihilator)

  # 42:57 #

  wieder: Polare

  # 48:46 #

  F ist enthalten in der Kugel im Raum Z

  # 51:52 #

  wieder: Kugel im Raum Z

  # 58:58 #

  Die hingeschriebene Inklusion ist richtig, aber gesagt wird das Falsche: anstelle von Teilmenge Obermenge




• Lecture 28: Der Spektralsatz fuer kompakte selbstadjungierte Operatoren (nur Teil 1)
  
  (Teil 1) Video [33']: youtube
  
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  # 13:30 #

  Quadrat fehlt: \alpha_n |^2

  # 14:14 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 15:50 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 18:42 #

  Quadrat fehlt auch hier

  # 32:07 #

  In der Summe an der zweiten Stelle im Skalarprodukt: P_n y




• Lecture 34: Spektralmaße
  
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  # 39:51 #

  Quadrat fehlt bei der letzten Norm

  # 47:36 #

  \phi muss auch messbar sein

  # 59:10 #

  \|\phi\|_\infty




• Lecture 35: Integration als *-Homomorphismus
  
  (Teil 1) Video [48']: youtube
  
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  # 04:08 #

  \exists e \forall a . a e = e a = a

  
  (Teil 2) Video [50']: youtube
  
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  # 10:59 #

  Hier von Punktmassen zu reden ist Quatsch; das was dann aufgeschrieben ist, ist richtig.

  # 17:48 #

  Hier fehlt das Komplement

  # 31:21 #

  Hier und in der folgenden Zeile gehoert \frac 1{n^2}

  # 34:59 #

  Innerhalb der Mengenklammer besser eine andere gebundene Variable; x ist ja schon belegt.

  # 36:46 #

  Hier fehlt zwei Mal \phi^{-1}

  # 43:28 #

  In dem Argument ist das \phi^-1 verloren gegangen. Entweder man definiert die \Delta_i als \phi^{-1}(...), das ist was dann nachher so ausgebessert wird, oder man nimmt fuer die Treppenfunktion bei # 44:51 # dann die Indikatoren der Mengen \phi^-1(\Delta_i) ... geht auch.




• Lecture 36: Rieszscher Darstellungssatz - Variante
  
  (Teil 1) Video [20']: youtube
  
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  # 14:06 #

  Hier gehoert \Phi anstelle von E: \Phi \Big( \sum_i=1^N \mathds{1}_{\Delta_i} \Big)

  
  (Teil 2) Video [58']: youtube
  
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  # 51:09 #

  integriert wird nach \tilde E




• Lecture 37: Der Spektralsatz fuer beschränkte selbstadjungierte Operatoren
  
  (Teil 1) Video [45']: youtube
  
  (Teil 2) Video [31']: youtube
  
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  # 09:30 #

  \| A \|

  # 18:53 #

  Die Summe, hier und in der ganzen Bemerkung, sollte eigentlich bei n=0 anfangen. Aendert aber nichts an dem was gesagt wird.

  # 24:18 #

  g \neq 0

  
  (Teil 3) Video [46']: youtube
  
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  # 05:30 #

  \gamma_1+\gamma_2

  # 23:17 #

  positives Borelmaß auf \bb R mit kompaktem Traeger

  # 27:45 #

  Beachte hier: Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenenen Diagonalelementen. Dieser Punkt ist nachher wichtig.

  # 32:42 #

  mehrfache Eigenwerte

  # 33:00 #

  Was ich hier leidlich verzweifelt auszudruecken versuche ist: wenn es mehrfache Eigenwerte gibt, ist der L^2(\mu) nicht isomorph zum C^N (weil zu klein). Dann muss man eine direkte Summe von L^2 Raeumen nehmen die die Eigenwerte sozusagen schichtweise abtragen.




• Lecture 38: Ein Differentialoperator
  
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  # 22:13 #

  Die Lösung h_0 soll reellwertig und nicht identisch Null sein.

  # 23:09 #

  Die Lösung h_1 soll reellwertig und nicht identisch Null sein.

  # 43:00 #

  Die Greensche Funktion hat das falsche Vorzeichen.

  # 44:13 #

  Hier meine ich mit L nur den Differentialausdruck ohne Randbedingungen. Am besten L(Gf)(x) einfach weglassen.

  # 49:24 #

  Links inverse

Schriftliche Unterlagen:

Ein Skriptum ist beim Kopitu in gebundener Form erhältlich, oder hier zum download als pdf. Eine kleine Auswahl an Verweisen zu Textbüchern aus der vielfältigen Literatur finden Sie im Skriptum.

Prüfung:

Die Prüfung zu jeder der drei Vorlesungen (Funktionalanalysis 1 / TM / WM-FAM) ist mündlich.

• Betreffend Prüfungsterminen, und Informationen zur Abwicklung in Corona Zeiten, siehe die entsprechende Seite dieser website (der link ist rechts unten).

Die drei LVA (Funktionalanalysis 1 / TM / WM-FAM) sind organisatorisch (naturgemäß nicht fachlich) unabhängig voneinander. Sie werden daher auch unabhängig voneinander geprüft und beurteilt.

Sie können an einem Termin die Prüfung zu einer, zwei, oder allen drei der Vorlesungen ablegen (man beachte, dass der Vorlesungsast des jeweils anderen Studienzweiges als Wahlfach verwendet werden kann). Bei der Prüfungsanmeldung bitte dazuschreiben zu welcher der Vorlesungen Sie geprüft werden wollen, da ich dementsprechend Zeit einplanen muss. Sie können auch verschiedene Termine für verschiedene Vorlesungsprüfungen in Anspruch nehmen, wobei die Reihenfolge Ihnen überlassen ist. Offensichtlich gibt es eine natürliche und sinnvolle Reihung: Funktionalanalysis 1 zuerst. Aber das heisst nicht dass man diese Reihenfolge unbedingt einhalten muss. Insbesondere: sollten Sie an einem Termin mehrere Vorlesungen machen und bei einer negativ sein, können Sie durchaus bei einer anderen positiv sein.

Der Stoff der Prüfung ist gleich dem Stoff der Vorlesung, und wegen Fernlehre-Modus ist "Vorlesung" hier gleich "Video-Lectures". Ganz explizite: Stoff ist NICHT was in einem Buch/Skriptum/Blog oder sonstwo steht, sondern das was Sie in der VORLESUNG = VIDEOS hören. Der Durchschnitt der unten verfügbaren Videos mit den ebenso unten verfügbaren schriftlichen Unterlagen ist gross, aber die beiden sind nicht gleich.

Wir haben uns zwar alle schon ein bischen an die Fernlehre gewöhnt, aber vielleicht ist es doch noch nicht ganz so ``wie normal''. Um dieser immer noch schwierigen Situation in diesem Semester Rechnung zu tragen, möchte ich bei der Funktionalanalysis 1 Prüfung für diesen Jahrgang die folgenden Lectures vom Prüfungsstoff ausnehmen: 8,12,13,25. Das heisst NICHT, dass die in diesen Lectures gebrachten Inhalte und Beispiele unwichtig, unbrauchbar, hässlich, oder uninteressant wären !

• Diese Stoffeinschränkung gilt ausschliesslich für jene Studierenden die in diesem Semester (Sommersemester 2021) die Vorlesung und Übung besucht haben. Für diese Studierenden gilt sie dauerhaft.

Inhalt:

I. Miscellaneous

1. Embeddings
2. The one-point extension
3. Separation axioms
4. The Tietze extension theorem
5. Paracompactness
6. Paths and homotopy
7. Connectedness
8. The free product of groups
9. Colimits of groups

II. Compactifications

1. The notion of compactification
2. Two examples
3. Structure of (T₂)-compactifications
4. The Stone-Cech compactification
5. The algebra C(X)

III. Metrisability

1. Pseudometric spaces
2. A theorem of Stone
3. The metrisability theorem of Bing-Nagata-Smirnov
4. Metrisability: local to global

IV. Covering spaces

1. Coverings
2. Lifting of continuous functions
3. The monodromy theorem
4. The lifting criterion

V. The fundamental group

1. Construction of the fundamental group
2. The fundamental group of the circle
3. Some properties of π₁
4. Products and unions
5. The fundamental group of the projective space
6. The Seifert–van Kampen theorem
7. The bouquet of circles
8. Spaces with prescribed fundamental group
9. Free homotopy and homotopy equivalence

Schriftliche Unterlagen:

Skriptum zur Vorlesung: Version August 22, 2021.

Video Lectures:

Die Reihenfolge in der die Lectures hier nummeriert sind, ist eine - aber nicht die - mögliche Reihenfolge die Lectures anzuschauen. Die tatsächlichen logischen Abhängigkeiten sind im folgenden Diagram dargestellt: Abhängigkeitsgraph.

Unabhängig von Zeitpunkt und Reihenfolge der Veröffentlichung der Video Lectures gilt: Das Gesamtausmass der produzierten Video Lectures wird das Gesamtausmass der normalerweise im Hörsaal zur Verfügung stehenden Zeit nicht übersteigen.

• Lecture 01: Einbettungen
  Video [34']: youtube


• Lecture 02: Die 1-Punkt Erweiterung
  Video [73']: youtube


• Lecture 03: Trennungsaxiome
  Video [109']: youtube
  
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  # 34:18 #

  Hier gehört y in Y.



• Lecture 04: Der Fortsetzungssatz von Tietze
  Video [60']: youtube


• Lecture 05: Parakompaktheit
  Video [83']: youtube


• Lecture 06: Kompaktifizierungen
  Video [93']: youtube


• Lecture 07: Zwei Beispiele
  Video [56']: youtube


• Lecture 08: Die Struktur von T₂-Kompaktifizierungen
  Video [83']: youtube
  
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  # 1:22:10 #

  Hier gehört \iota^*( C(Y,[0,1]) ) und analog \kappa^*( C(Z,[0,1]) ).



• Lecture 09: Die Stone-Čech Kompaktifizierung
  Video [82']: youtube
  
  »»» Bug report «««
  
  

  # 39:48 #

  Hier fehlt ein Argument. Die Punkte aus X bzw. Y haben !in X! bzw !in Y! eine abzählbare Umgebungsbasis, wir brauchen aber, dass sie !in \beta(X)! bzw. !in \beta(Y)! eine solche haben. Im Skriptum ist eine zusätzliche Proposition formuliert die dieses (in allgemeinerer Form) leistet.



• Lecture 10: Die Algebra C(X)
  Video [74']: youtube


• Lecture 11: Pseudo-metrische Räme
  Video [72']: youtube
  
  »»» Bug report «««
  
  

  # 1:23 #

  Achtung...Mathematiker Legasthenie: In der Dreiecksungleichung gehört natürlich kleiner gleich. Irgendwann komme ich dann drauf und bessere es aus. Dauert aber eine Zeitlang (bis # 13:48 #).



• Lecture 12: Ein Satz von Stone
  Video [42']: youtube


• Lecture 13: Der Metrisierbarkeitssatz von Bing-Nagata-Smirnov
  Video [57']: youtube


• Lecture 14: Metrisierbarkeit: lokal zu global
  Video [39']: youtube


• Lecture 15: Wege und Homotopie
  Video [57']: youtube


• Lecture 16: Zusammenhang
  Video [81']: youtube


• Lecture 17: Überlagerungen
  Video [97']: youtube


• Lecture 18: Lifting stetiger Funktionen
  Video [90']: youtube


• Lecture 19: Der Monodromiesatz
  Video [44']: youtube


• Lecture 20: Die Fundamentalgruppe
  Video [64']: youtube


• Lecture 21: Die Fundamentalgruppe des Kreises
  Video [26']: youtube


• Lecture 22: Einige Eigenschaften von Fundamentalgruppen
  Video [72']: youtube
  
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  # 23:51 #

  Das Sⁿ einfach zusammenhängend ist werden wir später sehen.



• Lecture 23: Produkte und Vereinigungen
  Video [60']: youtube


• Lecture 24: Die Fundamentalgruppe des projektiven Raumes
  Video [32']: youtube
  
  »»» Bug report «««
  
  

  # 20:18 #

  Die Abbildung rechts ist \pi_1(p_1)

  # 21:52 #

  Die Abbildung \pi_1(p_n) ist die konstante Nullabbildung weil ihr Definitionsbereich die triviale Gruppe ist. Aber dieses Wissen nützt uns in diesem Beweis nichts.



• Lecture 25: Der Satz von Seifert-van Kampen
  Video [109']: youtube


• Lecture 26: Räume mit vorgegebener Fundamentalgruppe
  Video [116']: youtube


• Lecture 27: Freie Homotopie und Homotopieäquivalenz
  Video [62']: youtube


• Lecture 28: Das freie Produkt von Gruppen
  Video [55']: youtube
  
  »»» Bug report «««
  
  

  # 20:15 #

  In der Erklärung von Kongruenzrelation soll w_1v_1 \Theta w_2v_2 stehen.

  # 51:09 #

  Die Punkte \gamma_b(1) sind paarweise verschieden. Das braucht ein Argument: siehe Skriptum, wo eine allgemeinere Variante des Beispiels angegeben ist.



• Lecture 29: Colimits von Gruppen
  Video [53']: youtube


• Lecture 30: Das lifting criterion
  Video [40']: youtube


• Lecture 31: Bouquet of circles
  Video [72']: youtube

Literatur:

Als Auswahl aus der vielfältigen Literatur möchte ich die folgenden Bücher anführen:

1. R.Engelking: General Topology (revised edition, 1989)
2. S.Hu: Introduction to General Topology (1966)
3. J.Nagata: Modern General Topology (2nd edition, 1985)
4. W.Massey: A basic course in algebraic topology (1991)
5. J.Rotman: An introduction to algebraic topology (1988)
6. A.Hatcher: Algebraic topology (2001)

Weitere Literatur :

4. N.Bourbaki: Elements of Mathematics: General Topology; Part 1,2 (1966)
5. S.Gaal: Point Set Topology (1964)
6. J.Kelley: General Topology (1955)
7. W.Rinow: Lehrbuch der Topologie (1975)
8. H.Schubert: Topologie (4.Auflage, 1964)
9. L.Steen,J.Seebach: Counterexamples in Topology (1970)

Video Lectures / Schriftliche Ausarbeitungen:

Der Vollständigkeit halber...hier das Material aus dem Hörsaal im Oktober in thematisch zusammengefassten Einheiten (im TUWEL sind die Videos in Vorlesungseinheiten):

• Lecture 01: Topologische Räume und stetige Funktionen
  Video [107']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 02: Konstruktion von Topologien
  Video [150']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 03: Einige Begriffe in topologischen Räumen
  Video [105']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 04: Konvergenz
  Video [141']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 05: Kompaktheit
  Video [128']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf

Ab November (Lectures in thematischen Einheiten):

• Lecture 06: Kompaktheit in metrischen Räumen
  Video [107']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report (Video; in der schriftlichen Ausarbeitung steht es korrekt drinnen):
  -- Bei der Implikation (ii)=>(iii): ich habe den Fall "nicht vollstaendig" vergessen.
  -- Bei der Implikation (iii)=>(i): bei den partitionen Q_n eigenschaft ii) sollte B in Q_n-1 sein.


• Lecture 07: Der Satz von Tychonoff
  Video [86']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report (schriftliche Ausarbeitung; im Video ist es korrekt):
  -- Bei der Definition von "invarianten Mittel" muss das Supremum in (i) auch über n in Z gehen.


• Lecture 08: Der Satz von Arzela-Ascoli
  Video [89']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 09: Der Satz von Stone-Weierstrass
  Video [115']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report (schriftliche Ausarbeitung; im Video ist es korrekt gesagt):
  -- Bei der Definition von "Unteralgebra" müssen f und g in A sein.
  -- Beim Beweis der Stetigkeit der Multiplikation: der letzte Term muss \|g-\tilde g\|_\infty sein.
  -- Beim Beweis des Satzes: die additive Konstante +\|f\|_\infty ist ein bei dem Argument mit den Schichtmengen A_j und B_j verlorengegangen. Es wird f+\|f\|_\infty approximiert. Nachdem wir die konstante Funktion 1 in der Algebra haben, haben wir damit auch Approximierende fuer f selbst.


• Lecture 10: Das Lemma von Urysohn
  Video [66']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 11: Der Satz von Luzin
  Video [65']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report (schriftliche Ausarbeitung; im Video ist es korrekt):
  -- Bei der Definition von "regulär" ist sup und inf vertauscht. Und es steht \mu(A), sollte aber \mu(B) sein.


• Lecture 12: Der Satz von Kolmogoroff-Riesz
  Video [115']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report:
  -- Beim Beweis des Satzes (Seite 13/14 in der schriftlichen Ausarbeitung) fehlt ein Rechenschritt (im Video muss die Definition von \psi modifiziert werden). Nämlich: Es gilt
  \|1_{W_a}\Phi_\delta f\|_p = |\lambda(W)^{\frac 1p-1} \int f d\lambda|
  Die Isometriebeziehung ist
  \|1_V\Phi_\delta f\|_p = \| ( \lambda(W)^{\frac 1p-1} \int f d\lambda )_{\|a\|_\infty\leq N} \|_p
  Und jetzt hat man Isometrie bezüglich der von \|.\|_p induzierten Metrik(!).


• Lecture 13: Die Transformationsformel
  Video [64']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 14: Der Satz von Sard
  Video [54']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 15: Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
  Video [123']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report (Video; in der schriftliche Ausarbeitung ist es richtig):
  -- Bei der Definition von "Atlas" fehlt die Bedingung \bigcup_{i\in I} U_i = M (gesagt habe ich es, aber nicht dazugeschrieben).
  -- Bei der Definition von "stetig differenzierbar" ist \psi \circ F \circ \varphi^{-1} nur auf \varphi(U\cap F^{-1}(V)) definiert. Weiters muss man in der Definition fordern dass F stetig ist. Die Bemerkung im Video dass dieses (ohne irgenwelche weiteren Voraussetzungen) schon folgt ist falsch. Der Grund dafür ist, dass man um von Differenzierbarkeit der Kartenabbildung \psi\circ F\circ\phi^{-1} reden zu können wissen muss dass der Definitionsbereich dieser Abbildung offen ist (oder zumindest eine offene Umgebung von x enthält).
  Bug report (Video):
  -- Beim Beweis dass diffeomorphe Mannigfaltigkeiten die gleiche Dimension haben gehört ab und wann \psi^{-1} anstelle von \psi.
  Bug report (schriftliche Ausarbeitung; im Video ist es korrekt gesagt):
  -- Die Einheitssphaere ist \alpha_1^2+\alpha_2^2+\alpha_3^2=1.
  -- Seite 15 oben: l läuft von 1 bis d


• Lecture 16: Eingebettete Mannigfaltigkeiten
  Video [97']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report (schriftliche Ausarbeitung):
  -- Seite 16, erste Formelzeile: ganz am Schluss gehört \psi^{-1}


• Lecture 17: Das Oberflächenmaß
  Video [102']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 18: L¹ als Banachalgebra
  Video [73']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 19: Die Fouriertransformation I. Algebraische Eigenschaften
  Video [65']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report (schriftliche Ausarbeitung):
  -- Seite 8, im Beweis von Teil (i) der Proposition hat sich ein Minus eingeschlichen. Es ist nichts falsch was dortsteht, aber die Aussage passt mit dem Beweis nur bis auf das Minus zusammen.


• Lecture 20: Die Fouriertransformation II. Differenzierbarkeit
  Video [54']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 21: Die Fouriertransformation III. Invertierbarkeit
  Video [42']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 22: Der orientierbare Rand
  Video [68']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  »»» Bug report «««
  [Video; in der schriftliche Ausarbeitung ist es richtig]:
  —  (16:22 und 19:20 und 59:53) Bei der Definition des Atlas muss man die Karte auffassen als Abbildung in den R^{n-1}, und nicht nach R^{n-1}\times\{0\}\subseteq R^n.
  —  (37:18 - 38:40) Dieses Argument ist nicht schlüssig, wird unmittelbar im Anschluss richtiggestellt.
  —  (52:54 und 1:05:08) hier gehört \notin\overline G. Weil, der Rand von G wird ja durch =0 beschrieben.
  —  (1:03:50) Das orthogonale Komplement ist 1-dimensional (gesagt habe ich es, aber nicht geschrieben)


• Lecture 23: Ein Integralsatz
  Video [28']: youtube   /   Schriftliche Unterlagen: pdf


• Lecture 24: Beweis des Integralsatzes
  Video [115' + 34' + 32']:
  Schritt 1; lokale Version: youtube   /   Schritt 2; lokal-zu-global: youtube   /   Schritt 3; Approximation: youtube
  Schriftliche Unterlagen: pdf
  
  Bug report (Video):
  -- (Schritt 1; 14:19) Wieder einmal die Projektion bei der Karte vergessen.
  -- (Schritt 1; 57:07) Nicht in G heisst dass die letzte Koordinate \geq 0 ist. Entsprechend ist p\in[0,1).
  -- (Schritt 1; 1:33:25) Es soll die Determinante von d\Psi sein, und dann fehlt noch das Quadrat (kommt noch ein paar mal vor, und wird später einmal bemerkt und ausgebessert).
  -- (Schritt 3; 6:55) Es fehlt das Komplement.

Hier ist eine von Hr.Patrick Schneider in LaTeX getippte Zusammenfassung der schriftlichen Ausarbeitungen: pdf. Vielen Danke dafür an dieser Stelle.

Die Reihenfolge in der die Lectures hier nummeriert sind, ist eine - aber nicht die - mögliche Reihenfolge die Lectures anzuschauen. Die tatsächlichen logischen Abhängigkeiten sind im folgenden Diagram dargestellt: Abhängigkeitsgraph.

Weitere Quellen:

• Auszug aus dem Lehrbuch Fundament Analysis von Michael Kaltenbäck,
• Skriptum vom gleichen Autor.
• Skriptum von Martin Blümlinger.
• Über den Satz von Whitney; von Milton Persson.
• Schriftliche Zusammenfassungen der Vorlesungen 2020-10-05, 2020-10-06, 2020-10-12, 2020-10-13. 2020-10-19. 2020-10-20. 2020-10-27.

Das angeführte Lehrbuch ist ein sehr schönes Werk zu den Grundlagen einer modernen Analysis, und ist speziell auf die Bedürfnisse unsere Studenten zugeschnitten. Ich empfehle jedem Hörer die Lektüre dieses Buches ! Es ist hier frei verfügbar. Wenn jemand gerne Bücher wirklich in der Hand hat...man kann es auch in Papierform käuflich erwerben.

Des weiteren empfehle ich allen Hörern mit der mittlerweile gesammelten mathematischen Erfahrung wieder einmal über die grundlegenden Beweismethoden und Prinzipien des Argumentierens zu reflektieren. Siehe z.B. das Skriptum zur Einführung ins mathematische Arbeiten (hier, oder im Kopitu in gedruckter Form).

Prüfung:

Die Prüfung zur Vorlesung ist schriftlich und mündlich (positiver schriftlicher Teil ist notwendig um zum mündlichen Teil antreten zu können). Stoff ist was in Vorlesung/Übung gemacht wurde.

Schriftliche Prüfungen ausschliesslich zu den im TISS angegebenen Sammelterminen; Anmeldung ebenso ausschliesslich via TISS. Bezüglich Terminen und Anmeldemodalitäten zu mündlichen Prüfungen siehe diese Seite.

Hier geht's zur Fernlehre website.

Inhalt:

I.

1. Die Differentialgleichung und ein Eindeutigkeitssatz
2. Existenz von Lösungen analytisch im Parameter
3. Eigenschaften der Fundamentallösung
4. Beispiele und Transformationen kanonischer Systeme
5. Wachstum des Matrizanten in z

II.

1. Die Methode der Weyl'schen Kreise
2. Der Weyl Koeffizient als Funktion des Hamiltonians
3. Der Weyl Koeffizient als Funktion des Spektralparameters

III.

1. Das Inverse Problem I.Surjektivität

Operatortheorie.

1. Teil 1 (verfasst von Michael Kaltenbäck)
2. Teil 2

Anhang A.

1. Integraldarstellung holomorpher Funktionen mit nichtnegativem Imaginärteil
2. Produktdarstellung meromorpher Funktionen mit nichtnegativem Imaginärteil
3. Beschränkte analytische Funktionen
4. Die Hermite-Biehler Klasse

Anhang B.

1. Faktorisierungen rationaler Funktionen
2. Möbiustransformationen
3. Die schwache Topologie am L1

Unterlagen:

Vorlesungsunterlagen werden hier im Laufe der Vorlesung bereitgestellt.

• Kapitel I.1: Die Differentialgleichung und ein Eindeutigkeitssatz. (9p./1.10)
• Kapitel I.2: Existenz von Lösungen analytisch im Parameter. (5p./1.10)
• Kapitel I.3: Eigenschaften der Fundamentallösung. (7p./1.10), (4p./8.10)
• Kapitel I.4: Beispiele und Transformationen kanonischer Systeme. (4p./8.10)
• Kapitel I.5: Wachstum des Matrizanten in z. (14p./1.10), (3p./8.10)

---------------------------

• Kapitel II.1: Die Methode der Weyl'schen Kreise. (14p./14.10)
• Kapitel II.2: Der Weyl Koeffizient als Funktion des Hamiltonians. (4p./24.10)
• Kapitel II.3: Der Weyl Koeffizient als Funktion des Spektralparameters

---------------------------

• Kapitel III.1: Das Inverse Problem I.Surjektivität

---------------------------

• Operatortheorie 1 (verfasst von Michael Kaltenbäck). (19p./8.1)
• Operatortheorie 2. (16p./8.1)

---------------------------

• Anhang A.1: Integraldarstellung holomorpher Funktionen mit nichtnegativem Imaginärteil. (9p./1.10), (3p./8.10), (9p./10.10)
• Anhang A.2: Produktdarstellung meromorpher Funktionen mit nichtnegativem Imaginärteil. (10p./1.10), (1p./8.10)
• Anhang A.3: Beschränkte analytische Funktionen. (9p./8.10)
• Anhang A.4: Die Hermite-Biehler Klasse. (4p./10.10)

---------------------------

• Anhang B.1: Faktorisierungen rationaler Funktionen. (15p./3.10)
• Anhang B.2: Möbiustransformationen. (3p./14.10)
• Anhang B.3: Die schwache Topologie am L1. (4p./14.10)

---------------------------

• Basics Funktionalanalysis: Skriptum Fana1 (Version 2019)
• Basics Komplexe Analysis: Skriptum Kana (Teil 1), Skriptum Kana (Teil 2)

Literatur:

Die Vorlesung geht nicht nach einem spezifischen Buch vor. Einige Quellen die ich verwende sind (unsortierte Liste):

1. C.Remling: Spectral theory of canonical systems (2019)
2. R.Romanov: Canonical systems and deBranges spaces (2014)
3. H.Winkler: Zum inversen Spektralproblem für kanonische Systems (PhD-Thesis 1993)
4. S.Hassi, H.deSnoo, H.Winkler: Boundary value problems for two-dimensional canonical systems (2000)
5. R.Pruckner: Growth estimates for Nevanlinna matrices (PhD-Thesis 2017)
6. M.Kaltenbäck, H.Woracek: Winter School "Kanonische Systeme" (2015)
7. J.Kaiser: Canonical Systems (Master-Thesis 2018)
8. M.Langer, R.Pruckner, H.Woracek: Estimate for the Weyl coefficient of a two-dimensional canonical system (work in progress)
9. B.Levin: Distribution of zeroes of entire functions (1980)
10. L.deBranges: Hilbert spaces of entire functions (1968)
11. R.Romanov: Order problem for canonical systems and a conjecture of valent (2017)
12. M.Kaltenbäck, H.Woracek: Pontryagin spaces of entire functions I (1999)
13. M.Kaltenbäck, H.Woracek: Pontryagin spaces of entire functions V (2011)

Inhalt:

I.Einleitung

1. Kategorien und Funktoren
2. Freie Abelsche Gruppen
3. Direkte Limiten

II.Singuläre Homologie

1. Der singuläre Homologiefunktor
2. Homotopieinvarianz
3. Covering Isomorphism
4. Die Mayer-Vietoris Sequenz

III.Topologie des euklidischen Raumes

1. Der Abbildungsgrad
2. Sätze von Jordan und Brouwer
3. Fundamentalgruppe und erste Homologiegruppe

Unterlagen:

Hier meine Vorlesungsvorbereitung zum download als pdf (deckt nicht alles ab):

Abhängigkeit der Kapitel: Abhängigkeitsgraph

Kapitel I.2: Kategorien und Funktoren

Kapitel I.3(1): Abelsche Gruppen (part 1)

Kapitel I.4(1): Direkte Limiten (part 1)

Kapitel II.1: Der singuläre Homologiefunktor

Kapitel II.2: Homotopieinvarianz

Kapitel II.3: Covering Isomorphism

Kapitel II.4: Mayer-Vietoris Sequenz

Kapitel III.1: Der Abbildungsgrad

Kapitel III.2: Sätze von Jordan und Brouwer

Literatur:

Aus der vielfältigen Literatur habe ich die folgenden Bücher verwendet:

1. P.Hilton, U.Stammbach: A course in homological algebra (1971)
2. J.Rotman: An introduction to algebraic topology (1988)
3. J.Vick: Homology Theory (second edition, 1994)

Weitere Literatur :

4. S.Eilenberg-N.Steenrod: Foundations of Algebraic Topology (1952)
5. A.Hatcher: Algebraic topology (2001)
6. S.-T.Hu: Homology Theory (1966)
7. W.Massey: A basic course in algebraic topology (1991)
8. J.Munkres: Elements of Algebraic topology (1984)
9. E.Spanier: Algebraic topology (1966)

Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung der Vorlesung Algebraische Topologie aus dem WS 2016/17.

Inhalt:

IV.Homologie von Produkträumen

1. Konstruktion von Kettenabbildungen
2. Die Künneth Formel

Unterlagen:

Hier meine Vorlesungsvorbereitung zum download als pdf:

1. Abhängigkeit der Kapitel: Abhängigkeitsgraph


2. Kapitel IV.1: Konstruktion von Kettenabbildungen
3. Kapitel IV.2(1): Die Künneth Formel (part 1)
4. Kapitel IV.2(2): Die Künneth Formel (part 2)

Literatur:

Aus der vielfältigen Literatur möchte ich die folgenden Bücher empfehlen:

1. P.Hilton, U.Stammbach: A course in homological algebra (1971)
2. J.Rotman: An introduction to algebraic topology (1988)
3. J.Vick: Homology Theory (second edition, 1994)

Weitere Literatur :

4. S.Eilenberg-N.Steenrod: Foundations of Algebraic Topology (1952)
5. A.Hatcher: Algebraic topology (2001)
6. S.-T.Hu: Homology Theory (1966)
7. W.Massey: A basic course in algebraic topology (1991)
8. J.Munkres: Elements of Algebraic topology (1984)
9. E.Spanier: Algebraic topology (1966)

Inhalt:

I.Einleitung

1. Motivation: Kurvenintegrale und Wegunabhängigkeit
2. Kategorien und Funktoren
3. Freie Abelsche Gruppen
4. Direkte Limiten
5. Tensorprodukte
6. Additive Kategorien
7. Exakte Sequenzen
8. Der Funktor Tor

II.Singuläre Homologie

1. Der singuläre Homologiefunktor
2. Homotopieinvarianz
3. Covering Isomorphism
4. Die Mayer-Vietoris Sequenz

III.Topologie des euklidischen Raumes

1. Der Abbildungsgrad
2. Sätze von Jordan und Brouwer

Unterlagen:

Hier ist meine Vorlesungsvorbereitung zum download.

Abhängigkeit der Kapitel: Abhängigkeitsgraph

Kapitel I.2: Kategorien und Funktoren

Kapitel I.3(1): Abelsche Gruppen (part 1)

Kapitel I.3(2): Abelsche Gruppen (part 2)

Kapitel I.4(1): Direkte Limiten (part 1)

Kapitel I.4(2): Direkte Limiten (part 2)

Kapitel I.5: Tensorprodukte

Kapitel I.6: AdditiveKategorien

Kapitel I.7: Exakte Sequenzen

Kapitel I.8: Der Funktor Tor

Kapitel II.1: Der singuläre Homologiefunktor

Kapitel II.2: Homotopieinvarianz

Kapitel II.3: Covering Isomorphism

Kapitel II.4: Mayer-Vietoris Sequenz

Kapitel III.1: Der Abbildungsgrad

Kapitel III.2: Sätze von Jordan und Brouwer

Literatur:

Aus der vielfältigen Literatur habe ich die folgenden Bücher verwendet:

1. P.Hilton, U.Stammbach: A course in homological algebra (1971)
2. J.Rotman: An introduction to algebraic topology (1988)
3. J.Vick: Homology Theory (second edition, 1994)

Weitere Literatur :

4. S.Eilenberg-N.Steenrod: Foundations of Algebraic Topology (1952)
5. A.Hatcher: Algebraic topology (2001)
6. S.-T.Hu: Homology Theory (1966)
7. W.Massey: A basic course in algebraic topology (1991)
8. J.Munkres: Elements of Algebraic topology (1984)
9. E.Spanier: Algebraic topology (1966)

Inhalt:

I. Metrisierbarkeit

1. Pseudometriken und Metriken
2. Metrisierbarkeit via Basis-Eigenschaften
3. Metrisierbarkeit via Entwicklungen

II. Uniforme Strukturen

1. Uniformitäten und gleichmäßig stetige Abbildungen
2. Uniforme Eigenschaften
3. Metrisierbarkeit und Uniformisierbarkeit

III. Kompaktifizierungen

1. Die Alexandroff- und Stone-Čech Kompaktifizierungen
2. Shanin's Konstruktion von Kompaktifizierungen

IV. Die Fundamentalgruppe

1. Wege und Homotopie
2. Der Funktor π₁
3. Einige Eigenschaften von Fundamentalgruppen

V. Überlagerungen

1. Definition von Überlagerungsräumen
2. Lifting stetiger Abbildungen
3. Überlagerungen und Fundamentalgruppen
4. Die Aktion von π₁(X,x₀) auf der Faser über x₀
5. Beispiele; Fixpunktsatz von Brouwer und Satz von Borsuk-Ulam (2-dim)

VI. Der Satz von Seifert-van Kampen

1. Formulierung und Beweis des Satzes von Seifert-van Kampen
2. Jordanscher Trennungssatz und Brouwerscher Satz von der Gebietstreue (2-dim)

Unterlagen:

Hier meine Vorlesungsvorbereitung zum download als pdf:

Kapitel I: Metrisierbarkeit

Kapitel II: Uniforme Strukturen

Kapitel III: Kompaktifizierungen

Kapitel IV: Die Fundamentalgruppe

Kapitel V: Überlagerungen

Kapitel VI: Der Satz von Seifert-van Kampen

Literatur:

Als Auswahl aus der vielfältigen Literatur möchte ich die folgenden Bücher anführen:

1. R.Engelking: General Topology (revised edition, 1989)
2. S.Hu: Introduction to General Topology (1966)
3. J.Nagata: Modern General Topology (2nd edition, 1985)
4. W.Massey: A basic course in algebraic topology (1991)
5. J.Munkres: Topology (2nd edition, 2000)
6. J.Rotman: An introduction to algebraic topology (1988)
7. A.Hatcher: Algebraic topology (2001)

Weitere Literatur :

8. N.Bourbaki: Elements of Mathematics: General Topology; Part 1,2 (1966)
9. S.Gaal: Point Set Topology (1964)
10. J.Kelley: General Topology (1955)
11. W.Rinow: Lehrbuch der Topologie (1975)
12. H.Schubert: Topologie (4.Auflage, 1964)
13. L.Steen,J.Seebach: Counterexamples in Topology (1970)

Inhalt:

I. Gelfand Theorie

1. Definitionen und Beispiele
2. Spektrum und Resolvente
3. Multiplikative Funktionale
4. Die Gelfand-Transformation
5. Der stetige Funktionalkalkül
6. Der Spektralsatz für normale Operatoren

II. Unbeschränkte lineare Operatoren

1. Abgeschlossene Operatoren
2. Integration unbeschränkter Funktionen
3. Normale Operatoren; der Spektralsatz

III. Stark stetige Halbgruppen

1. Der infinitesimale Erzeuger
2. Der Satz von Hille-Yoshida
3. Halbgruppen normaler Operatoren
4. Konvergenz von Halbgruppen

Unterlagen:

Hier meine Vorlesungsvorbereitung zum download als pdf:

Kapitel1, Kapitel2, Kapitel3. Kapitel3/Section4.

Literatur:

Aus der vielfältigen Literatur möchte ich die folgenden Bücher empfehlen:

1. W.Rudin: Functional Analysis
2. J.B.Conway: A course in Functional Analysis

Weitere Literatur, die ich verwendet habe ist :

3. E.Kaniuth: A course in commutative Banach algebras
4. W.Kaballo: Grundkurs/Aufbaukurs Funktionalanalysis
5. T.Kato: Perturbation Theory for Linear Operators

Inhalt:

I. s-Zahlen kompakter Operatoren

1. Minimax-Eigenschaften
2. s-Zahlen
3. Ungleichungen zwischen s-Zahlen und Eigenwerten
4. s-Zahlen von Summen und Produkten

II. Norm-Ideale beschränkter Operatoren

1. Norm-Ideale
2. Symmetrische normierende Funktionen
3. Separable Norm-Ideale
4. Beispiele von Norm-Idealen
5. Dualräume

Unterlagen:

Hier meine Vorlesungsvorbereitung zum download als pdf:

• Kapitel 1: pdf
• Kapitel 2: pdf

Literatur:

Liste: pdf

Vortragsreihe im Rahmen des ERASMUS Austauschprogrammes (10 Einheiten zu je 45 Minuten).

Inhalt:

I. Riemannsche Flächen

1. Riemannsche Flächen und analytische Funktionen
2. Einige Sätze uber analytische Funktionen
3. Die Riemannsche Fläche der Umkehrfunktion

II. Analytische Fortsetzung

1. Analytische Fortsetzung innerhalb von C
2. Überlagerungen
3. Funktionskeime, Fortsetzung längs Wegen
4. Maximale analytische Fortsetzung

Unterlagen:

Skriptum zu dem Stoff (wahrscheinlich wird sich in den Vorträgen nicht alles ausgehen) als pdf.

Literatur:

• C.Berenstein, R.Gay: Complex Variables. An Introduction, GTM 125, Springer 1991
• J.Conway: Functions of one complex Variable, GTM 11, Springer 1978
• J.Conway: Functions of one complex Variable II, GTM 159, Springer 1995

Inhalt:

I.Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

1. Definition und Grundlagen
2. Zerlegungen der Eins
3. Das Tangentialbündel
4. Das Inverse Function Theorem
5. Teilmannigfaltigkeiten

II.Lie Algebren

1. Definition und Grundlagen
2. Beispiele von Lie Algebren

III.Vektorfelder und Vektorbündel

1. Vektorfelder
2. Lokale Flüsse
3. Globale und vertauschbare Flüsse
4. Vektorbündel

IV.Lie Gruppen

1. Die Lie Algebra einer Lie Gruppe
2. Die Exponentialabbildung
3. Untergruppen

Skriptum:

pdf

Ist E eine Gruppe, N ein Normalteiler und G=E/N, so heisst E eine Erweiterung von N mit G. Es stellt sich die Frage ob es zu gegebenen Gruppen N und G eine Erweiterung E im obigen Sinne gibt. Falls dieses zutrifft, möchte man auch eine Beschreibung aller Erweiterungen kennen.

In dieser Vorlesung werden die oben angesprochen Fragen beantwortet, sowie die dabei benötigten Begriffe aus der Gruppentheorie und (basic) Homologietheorie diskutiert.

Die Theorie der Erweiterungen von Gruppen ist insbesondere deswegen interessant, als sie es ermöglicht - zumindestens theoretisch - eine Gruppe ausgehend von einer Kompositionsreihe, d.h. einer absteigenden Folge von sukzessiven Normalteilern mit einfachen Faktoren, zu konstruieren. Da z.B.\ jede endliche Gruppe eine Kompositionsreihe besitzt, genügt die Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen um alle endliche Gruppen zu kennen. Man muss jedoch beachten, dass manche Resultate der Erweiterungstheorie relative abstrakt sind und daher die explizite Konstruktion aller Erweiterungen nicht immer einfach ist.

Als Voraussetzung für den Besuch dieser Veranstaltung ist eigentlich nur die Grundvorlesung aus Algebra zu nennen. Ich habe versucht mit relativ wenig Vorkenntnissen zu starten und die wesentlichen Sätze der Gruppentheorie, welche vielleicht nicht in der Grundvorlesung vorkommen, zu beweisen.

Zielgruppe sind Studierende der Technischen Mathematik ab dem 5.Semster. Die Vorlesung kann aber auch unmittelbar nach dem Besuch der "Algebra"-Vorlesung gehört werden.

Inhalt:

1. Freie Gruppen
2. Der Satz von Nielsen-Schreier
3. Einige Produkte von Gruppen
4. Erweiterungen und Überlagerungsgruppen
5. Tensorprodukt von Moduln
6. Homologie- und Kohomologiegruppen
7. Die Grünberg-Auflösung
8. Interpretation der Kohomologiegruppen
9. Endlich presentierte Gruppen

Inhalt:

I.Holomorphe Funktionen: Elementare Eigenschaften

1. Holomorphe Funktionen im Cⁿ
2. Holomorphe Abbildungen
3. Hebbare Singularitäten

II.Holomorphiegebiete

1. Holomorphe Hüllen

III.Lokale Eigenschaften: Funktionskeime

1. Lokale Ringe
2. Die Sätze von Weierstrass
3. Moduln über lokalen Ringen

IV.Globale Eigenschaften: Garbentheorie

1. Elementare Eigenschaften von Garben
2. Garben von Moduln
3. Analytische Garben über Gebieten des C^n

Inhalt:

I. Harmonische Funktionen

1. Das Poisson Integral
2. Randwerte von Poisson Integralen
3. Darstellbarkeit durch Poisson Integrale
4. Subharmonische Funktionen

II. Die Räume H^p, N und N⁺

1. Nullstellen
2. Randwerte
3. Kanonische Faktorisierung. Inner- und Outer-functions
4. Konjugierte Funktionen

III. H^p als linearer Raum

1. H^p als Teilmenge von L^p
2. Extremalpunkte
3. Der Shift-Operator
4. Isometrien

IV. Analytische Funktionen mit stetigen Randwerten

1. Der Raum A
2. Der Satz von Szegö
3. Idealtheorie in A
4. A als linearer Raum

V. H^∞ als Banach Algebra

1. Der Raum der maximale Ideale
2. Der Raum M(H^∞)
3. Das Corona-Theorem

VI. H^∞ als Logmodulare Algebra

1. Arens-Singer Masse
2. Der Raum M(L^∞)
3. Der Silov-Rand von H^∞

Inhalt:

Einleitung

I.Vektorräume mit inneren Produkt

1. Innere Produkte
2. Orthonormalbasen, Fundamentalzerlegung
3. Orthogonale Transformationen

II.Minkowski Raumzeit

1. Licht- und Zeitkegel
2. Kausalitätsrelationen

III.Der Satz von Zeeman

IV.Die Lorentz Gruppe

V.Die Pfadtopologie

1. Zukunftsorientierte Kurven
2. Die Pfadtopologie
3. Homöomorphismen von M, T_p

Skriptum:

pdf

Inhalt:

Die Riemannsche Zetafunktion: Motivation

I.Algebraische Grundlagen

1. Freie Moduln
2. Moduln über Hauptidealringen
3. Nöthersche Moduln
4. Lokalisierung
5. Der Chinesische Restsatz
6. Der ganze Abschluss
7. Primideale
8. Fortsetzung von Homomorphismen

II.Dedekind Ringe

1. Dedekind Ringe
2. Diskrete Bewertungsringe
3. Galois Erweiterungen
4. Verzweigung von Primidealen
5. Explizite Faktorisierung einer Primstelle
6. Die Diskriminante
7. Quadratische Zahlkörper, Kreisteilungskörper

III.Die Riemannsche Zetafunktion: Definition

1. Die Riemannsche Zetafunktion
2. Definition von ζ_k

Skriptum:

pdf

Inhalt:

I.Topologische Räume

1. Offene Mengen, Umgebungen
2. Basis, Umgebungsbasis
3. Abgeschlossene Mengen
4. Filter und Konvergenz
5. Stetige Abbildungen
6. Vergleich von Topologien
7. Initiale - und finale - Topologien
8. Abzählbarkeitseigenschaften

II.Trennungsaxiome

1. T₁ - und T₂ - (Hausdorff-) Räume
2. Reguläre und vollständig reguläre Räume
3. Normale Räume

III.Überdeckungseigenschaften

1. Überdeckungen
2. Parakompakt und fully normal
3. Das Coincidence-Theorem von Stone
4. Partitionen der Eins

IV.Kompakte Räume

1. Eigenschaften kompakter Räume
2. Kompaktifizierung
3. Der Ring der stetigen Funktionen

V.Metrische Räume

1. Metriken
2. Metrisierbarkeit

Skriptum:

pdf

Inhalt:

I. Räume mit inneren Produkt

1. Geometrische Eigenschaften
2. Fundamentalzerlegungen
3. Winkeloperatoren und semidefinite Teilräume
4. Topologien auf Räumen mit inneren Produkt

II. Krein- und Pontryagin Räume

1. Krein Räume
2. Teilräume und orthogonale Komplemente
3. Vervollständigung
4. Maximal semidefinite Teilräume
5. Pontryagin Räume

III. Invariante Teilräume

1. Unitäre- und selbstadjungierte Operatoren
2. Existenz invarianter Teilräume

IV. Spektraltheorie

1. Definisierbare Operatoren
2. Funktionalkalkül für Operatoren mit reellem Spektrum

A. Beispiele

1. Beispiele

B. Banach- und Hilbertraum Theorie

1. Verschiedenes
2. Der Fixpunktsatz von Ky-Fan
3. Der Riesz-Dunfordsche Funktionalkalkül

Skriptum:

pdf

Inhalt:

Wachstum meromorpher und ganzer Funktionen

1. Das erste Fundamentaltheorem von Nevanlinna
2. Funktionenkörper mit vorgegebenen Wachstum

Nullstellenverteilung und Wachstum

1. Nullstellenfolgen
2. Quotientendarstellungen

Werteverteilung

1. Das zweite Fundamentaltheorem von Nevanlinna
2. Einige Anwendungen

In dieser Vorlesung werden die Grundzge der von Louis de Branges entwickelten Theorie spezieller ganzer Funktionen und der, mit ihrer Hilfe konstruierten Hilberträume dargestellt. Diese Theorie hat eine Reihe von Anwendungen in verschiedenen Gebieten der klassischen und modernen Analysis (z.B. in der Fourier Analysis und in der Funktionalanalysis).

Der Hauptteil dieser Vorlesung wird sich damit befassen, die von de Branges verwendeten funktionentheoretischen Methoden vorzustellen. Dies sind z.B.: Die Poissonsche Integraldarstellung, Funktionen von beschränktem Typ, der "mean type", Funktionen der Polya Klasse. Anschliessend werden wir auf die Konstruktion und auf einige Eigenschaften der oben genannten Hilberträume eingehen.

Diese Vorlesung richtet sich an Studierende der Technischen Mathematik. Als Voraussetzung ist nur der Besuch der Vorlesung "Komplexe Analysis" wesentlich.

In einer Fortsetzung zu dieser Vorlesung werden wir auf einige tieferliegende Resultate von de Branges und auf einige Anwendungen eingehen.

Inhalt:

1. Poissonsche Integraldarstellung
2. Funktionen von beschränktem Typ
3. Mean type
4. Polya Klasse
5. Funktionen vom Exponentialtyp
6. deBranges Räume
7. Assoziierte Funktionen

Fortsetzung der Veranstaltung vom Wintersemester.

Inhalt:

1. Teilräume: Beispiel
2. Der Raum H_S(M)
3. Teilräume: allgemein
4. Ordering Theorem
5. Existenz und Eindeutigkeit von Teilräumen
6. Die Integralgleichung für Teilräume
7. Räume L²(μ) die H(E) isometrisch enthalten

Inhalt:

1. Die Gammafunktion
2. Die Thetafunktion
3. Die Riemannsche Zetafunktion
4. Die Funktionen ξ und Ξ
5. Nullstellen auf der Gerade Re=1/2
6. Eine asymptotische Formel

Inhalt:

I. Harmonische Funktionen

1. Das Poisson Integral
2. Eigenschaften harmonischer Funktionen
3. Randwerte von Poisson Integralen
4. Darstellbarkeit durch Poisson Integrale
5. Subharmonische Funktionen
6. Eigenschaften subharmonischer Funktionen

II. Die Räume H^p, N, N⁺

1. Funktionen von beschränktem Typ
2. Hardy Räume
3. H^p als linearer Raum
4. Der Multiplikationsoperator im H²

III. Hardy Räume auf der Halbebene

1. Konform invariante Definition
2. Die Räume N(C⁺), H^p(C⁺)
3. Der Raum H^p(C⁺)

IV. Räume mit reproduzierendem Kern

1. Reproduzierende Kerne
2. Eigenschaften von reproduzierenden Kernen
3. Carathedory-Funktionen

V. DeBranges Theorie

1. DeBranges Räume ganzer Funktionen
2. Struktur der Klasse HB
3. Der Multiplikationsoperator in H(E)
4. Teilräume von dB-Räumen

Skriptum:

pdf

Diese Vorlesung soll Einblicke in mehrere verschiedene Bereiche der komplexen Analysis geben, die in der Pflichtvorlesung "Komplexe Analysis" nicht behandelt werden. Sie richtet sich an Studierende der technischen Mathematik, die in diesem Semester die Vorlesung "Komplexe Analysis" besuchen (oder sie schon früher gehört haben). Trotz der Zielsetzung möglichst viele verschiedene Gebiete anzusprechen, werden einige tiefliegende Ergebnisse bewiesen. Zum Beispiel:

1. Der "Satz von Frobenius", der die endlich-dimensionalen reellen Divisionsalgebren charakterisiert.
2. Der "Approximationssatz von Runge", der die gleichmässige Approximation von analytischen Funktionen durch Funktionen mit vorgegebenen Singularitäten behandelt.
3. Der "Grosse Satz von Picard", der besagt dass eine analytische Funktion in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt.
4. Ein "Satz von Paley und Wiener", der die Fouriertransformierten von Funktionen die ausserhalb eines endlichen Intervalls verschwinden charakterisiert.
5. Der "Primzahlsatz", der eine asymptotische Formel für die Häufigkeit von Primzahlen in den natrlichen Zahlen gibt.

Weitere behandelte Gebiete sind: Theorie der elliptischen Funktionen, Werteverteilung oder einige Beispiele von Hilberträumen analytischer Funktionen (deBranges-Räume, Hardy-Räume).

Inhalt:

I. Die komplexen Zahlen

1. Darstellungen von C
2. Eigenschaften von C
3. Reelle Divisionsalgebren

II. Runge-Theorie

1. Der Polverschiebungssatz
2. Approximationssätze von Runge
3. Eine Anwendung

III. Elliptische Funktionen

1. Die Weierstrasssche p-Funktion
2. Die Liouvilleschen Sätze
3. Das Abelsche Theorem
4. Das Additionstheorem der p-Funktion

IV. Werteverteilung. Die Sätze von Bloch, Schottky und Picard

1. Satz von Bloch
2. Satz von Schottky
3. Satz von Picard
4. Das erste Fundamentaltheorem von Nevanlinna
5. Die Ahlfors-Shimizu Charakteristik
6. Funktionen von beschränkter Charakteristi

V. Hilberträume analytischer Funktionen

1. Funktionen mit nichtnegativem Realteil
2. Funktionen von beschränktem Typ
3. Ein Satz von Paley und Wiener
4. deBranges Räume ganzer Funktionen
5. De Hardy-Raum H²

VI. Der Primzahlsatz

1. Die Riemannsche Zetafunktion
2. Ein Taubersatz

VII. Einige Klassen analytischer Funktionen

1. Abschätzung nach unten
2. Funktionen der Klasse A
3. Funktionen der Klasse HB

Inhalt:

I.Fixpunktsätze

1. Der Satz von Arzela-Ascoli
2. Singuläre Homologietheorie
3. Relative Homologiegruppen
4. Fixpunktsätze von Brouwer und Schauder

II.Grad stetiger Abbildungen

1. Der Brouwer-Grad
2. Der Leray-Schauder Grad
3. Methode zur Berechnung des Grades

III.Bifurkation

1. Der Satz von Krasnoselski-Rabinowitz
2. Nichtlineare Sturm-Liouville Probleme
3. Der Eulersche Knickstab

Inhalt:

I. s-Zahlen kompakter Operatoren

1. Minimax-Eigenschaften
2. s-Zahlen
3. Ungleichungen zwischen s-Zahlen und Eigenwerten
4. s-Zahlen von Summen und Produkten
5. s-Zahlen für beschränkte Operatoren

II. Norm-Ideale beschränkter Operatoren

1. Norm-Ideale
2. Symmetrische normierende Funktionen
3. Separable Norm-Ideale
4. Beispiele von Norm-Idealen
5. Dualräume

III. Hilbert-Schmidt und trace-class Operatoren

1. Integraloperatoren
2. Die Determinante
3. Wachstum der Resolvente
4. Vollständigkeit
5. Asymptotische Eigenschaften des Spektrums
6. Regularisierte Determinante
7. Stördeterminante

Unterlagen:

Hier meine Vorlesungsvorbereitung zum download als pdf:

• Kapitel 1: pdf
• Kapitel 2: pdf
• Kapitel 3: pdf

Literatur:

Liste: pdf

Inhalt:

I.Der Primzahlsatz

1. Die Riemannsche Zetafunktion
2. Beweis von Satz 1.0.7

II.Elliptische Funktionen

1. Periodische Funktionen
2. Der Körper K(L)
3. Das Abelsche Theorem
4. Das Additionstheorem der p-Funktion

III.Riemannsche Flächen

1. Riemannsche Flächen und analytische Funktionen
2. Einige Sätze über analytische Funktionen
3. Logarithmus und Wurzel

IV.Analytische Fortsetzung

1. Überlagerungen
2. Analytische Fortsetzung

V.Runge Theorie

1. Der Polverschiebungssatz
2. Die Approximationssätze von Runge

Skriptum:

pdf

Inhalt:

I. Geometry of inner product spaces

1. Inner product spaces
2. Orthogonality
3. Orthogonal decompositions and angular operators
4. Semidefinite subspaces
5. Inner product spaces with finite negative index
6. Dual pairs
7. Orthogonal coupling

II. Topological inner product spaces

1. Definition of TIPS
2. Compatible topologies
3. Existence of compatible topolgies
4. Subclasses of Top L
5. Minimal elements of Top L
6. Uniqueness of decomposition topologies
7. Subspaces, products, factors

III. Classes of complete TIPS. I. Krein spaces

1. Definition of Krein spaces
2. Fundamental decompositions
3. Orthocomplemented subspaces
4. Isometric mappings
5. Krein space completions

IV. Classes of complete TIPS. II. Pontryagin spaces

1. Definition of Pontryagin spaces
2. Fundamental decompositions, orthocomplemented subspaces
3. Isometric mappings, Completions
4. Degenerated subspaces

V. Classes of complete TIPS. III. Almost Pontryagin spaces

1. Definition of aPs
2. Subspaces, products, factors
3. The canonical Pontryagin space extension
4. Fundamental decompositions, Orthocomplements, Isometries
5. Almost Pontryagin space completions

VI. Reproducing kernel spaces

1. Reproducing kernel Krein spaces
2. Kernel functions

Skriptum (Part I / korrigierte und erweiterte Version 13.2.2010):

pdf

Inhalt:

VII. Linear Relations

1. Algebraic operations
2. Fractional linear transformations
3. Resolvent and spectrum
4. Adjoints
5. Linear Relations in a Banach space
6. Linear relations in a Krein space

VIII. The Riesz-Dunford functional calculus

1. An algebra of functions
2. Definition of the functional calculus
3. Properties of Φ_RD^T

IX. The Langer-Jonas functional calculus

1. B(K)-valued measures
2. An algebra of functions
3. The algebra C^∞(R_∞)
4. The functional calculus. I. Definitizability along R_∞

Skriptum (Part II / korrigierte und erweiterte Version 13.2.2010):

pdf

Inhalt:

I. Some linear algebra

1. Scalar Product Spaces
2. Orthogonality
3. Orthocomplemented Subspaces
4. Definiteness Properties
5. Angular Operators
6. Index of Positivity and Negativity
7. Neutral Subspaces

II. Scalar product spaces with topology

1. Basic Consequences of Continuity
2. Gram Spaces
3. Krein Spaces
4. Pontryagin Spaces
5. Almost Pontryagin Spaces
6. Extension of isometries
7. Completions
8. Structure of the set of completions
9. Almost Pontryagin Space Completions

Skriptum (korrigierte und erweiterte Version 2.5.2015):

pdf

Inhalt:

I. Harmonische Funktionen

1. Das Poisson Integral
2. Eigenschaften harmonischer Funktionen
3. Randwerte von Poisson Integralen
4. Darstellbarkeit durch Poisson Integrale
5. Subharmonische Funktionen
6. Eigenschaften subharmonischer Funktionen

II. Die Räume H^p, N, N⁺

1. Funktionen von beschränktem Typ
2. Hardy Räume
3. H^p als linearer Raum
4. Der Multiplikationsoperator im H²

III. H^p als Banachraum

1. Die Hilberttransformation
2. H^p als Dualraum

Skriptum:

pdf

Inhalt:

Quadratische Formen und Operatorhalbgruppen auf Hilberträumen sind ein wichtiges Hilfsmittel, um unbeschränkte Operatoren, wie etwa elliptische Differentialoperatoren, zu definieren und zu studieren. Für elliptische Differentialgleichungen entspricht der Zugang mit Hilfe von quadratischen Formen der schwachen Formulierung.

In der Vorlesung geben wir eine Einführung in die Theorie der quadratischen Formen (sektorielle Formen, Darstellungssätze, Störungstheorie) und ihrer Anwendungen auf Differentialoperatoren, insbesondere Schrödingeroperatoren. Im zweiten Teil der Vorlesung wird die Theorie der Operatorhalbgruppen studiert, Wir betrachten den Zusammenhang zwischen Halbgruppen und Cauchy-Problemen, den Satz von Hille-Yosida, analytische Halbgruppen und deren Zusammenhang zu sektoriellen quadratischen Formen. Diese grundlegenden Konzepte werden dann auf parabolische Gleichungen und die zeitabhängige Schrödingergleichungen angewendet.

Vortragende:

Carsten Trunk (TU Ilmenau, Ilmenau, Deutschland), Matthias Langer (University of Strathclyde, Glasgow, UK)

Zielgruppe:

Studenten im Masterstudium, oder Doktoranden die sich etwas breiter bilden wollen. Unabdingbare Voraussetzungen zum Verständnis der präsentierten Materie sind allerdings nur die `Funktionalanalysis 1', ein Grundwissen aus Differentialgleichungen, und eine gewisse Geläufigkeit mit den Methoden der Funktionalanalysis. Empfehlenswert ist weiters ein Grundwissen aus partiellen Differentialgleichungen. Der Besuch der Vorlesung ist damit durchaus auch für ambitionierte Bachelorstudenten möglich.

Literatur:

1. T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators (Reprint of the 1980 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995)
2. K.-J. Engel und R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations (Springer)

Inhalt:

Das Spektrum von Differentialoperatoren spielt in vielen Gebieten eine wichtige Rolle, etwa in der Quantentheorie und bei Stabilitätsfragen von Evolutionsgleichungen. In der Vorlesung werden zuerst Spektraleigenschaften von abstrakten Operatoren untersucht, zum Beispiel das wesentliche Spektrum, das unter gewissen Störungen stabiler ist als Eigenwerte. Dann werden Differentialoperatoren genauer studiert und die abstrakten Resultate angewandt.

Vortragender:

Matthias Langer (University of Strathclyde, Glasgow, UK)

Zielgruppe:

Studenten im Bachelor oder Masterstudium die Interesse an Spektraltheorie haben. Voraussetzungen zum Verständnis der präsentierten Materie sind die `Funktionalanalysis 1' und ein Grundwissen aus Differentialgleichungen.

Literatur:

1. D.E. Edmunds and W.D. Evans, Spectral Theory and Differential Operators (Clarendon Press, Oxford, 1987)
2. I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek, Classes of Linear Operators. Vol. I. (Birkhäuser Verlag, Basel, 1990)
3. K. Schmüdgen, Unbounded Self-Adjoint Operators on Hilbert Space (Graduate Texts in Mathematics, 265. Springer, Dordrecht, 2012)
4. T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators (Reprint of the 1980 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995)
5. M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. I. Functional Analysis. II. Fourier Analysis, Self-Adjointness. III. Scattering Theory. IV. Analysis of Operators (Academic Press, New York, London)
6. P. Binding and R. Hryniv, Relative boundedness and relative compactness for linear operators in Banach spaces (Proc. Amer. Math. Soc. 128 (2000), 2287-2290. http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-00-05729-4)