101.832 SE (2std Seminar, Wintersemester 2019/20)
AKNUM Seminar: Moderne Diskretisierungstechniken
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101.831 SE (2std Seminar, Wintersemester 2019/20)
Seminar mit Seminararbeit Moderne Diskretisierungstechniken
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Ort und Termin

Ziel des Seminars

Das Ziel des Seminars ist, dass sich Studenten selbstständig (mit Betreuung) in ein aktuelles Forschungsthema aus dem Bereich der numerischen Analysis einzuarbeiten, sowie dieses in einem Tafelvortrag zu präsentieren.

Inhalt des Seminars

Eine klassische Diskretisierungstechnik für elliptische PDEs, beispielsweise die Poisson-Gleichung -\Delta u = f, ist die Finite Elemente Methode (FEM). Hierbei wird das unendlichdimensionale Problem aus einem endlichdimensionalen Raum approximiert, wobei dieser Raum aus stetigen stückweisen Polynomen auf einem gegebenen Dreicksgitter besteht.

Die modernen Techniken in diesem Seminar verallgemeinern zwei Aspekte der FEM: die Einschränkung auf Dreiecke sowie die Voraussetzung der Stetigkeit. Fügt man in den diskreten Raum gewisse nicht-polynomielle Funktionen hinzu, so erlaubt die Virtuelle Elemente Methode (VEM) ein Gitter aus allgemeinen Polygonen, z.B. aus Pegasi.

Verlangt man keine Stetigkeit mehr, so führt dies auf so genannte Discontinuous Galerkin (DG) Methoden. Wir werden hierbei eine aktuell populäre DG-Variante, die Discontinuous Petrov Galerkin Methode (DPG) betrachten, die darauf basiert, dass man in der schwachen Formulierung der Gleichung mit geeigneten 'optimalen' Testfunktionen arbeitet.

Mögliche Themen sind:

Talks

DatumVortragenderTopicLiteratur
03.12.2019Björn BahrIntroduction to DPG[Fue],[Gop]
10.12.2019Maryam ParviziDPG for the Poisson Problem[Fue],[Gop]
14.01.2020Lorenz FischlIntroduction to VEM[BBC+],[BBMR]

Leistungsnachweis

90-minütiger Vortrag. Für Bachelorseminar (LVA 101.831) zusätzlich Seminararbeit.

Für das Erstellen der Seminararbeit ist das Template von Dirk Praetorius hilfreich: Seminararbeit Template

Literatur

[BBC+] L. Beirao da Veiga, F. Brezzi, A. Cangiani, G. Manzini, L. D. Marini, and A. Russo: Basic principles of virtual element methods. Math. Models Methods Appl. Sci., 2013. Link

[BBMR] L. Beirao da Veiga, F. Brezzi, L. D. Marini, and A. Russo: The Hitchhiker's guide to the virtual element method. Math. Models Methods Appl. Sci., 2014. Link

[Fue] T. Führer: Lecture notes on DPG methods, Summer Term 2017.

[Gop] J. Gopalakrishnan: Five lectures on dpg methods, arXiv:1306.0557, 2013. Link

[Sut] O.J. Sutton: The virtual element method in 50 lines of MATLAB, arXiv:1604.06021,2016. Link

Vorkenntnisse

Das Seminar ist geeignet für Bachelor-, Master- und Doktoratsstudenten. Als minimale Voraussetzung sind Funktionalanalysis 1, (partielle) Differentialgleichungen und Numerik erwünscht.