101.790 SE (2std Seminar, Sommersemester 2019)
AKNUM-AKANA Seminar: Inverse Probleme
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101.792 SE (2std Seminar, Sommersemester 2019)
Seminar mit Seminararbeit Inverse Probleme
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Ort und Termin

Ziel des Seminars

Das Ziel des Seminars ist einen Einblick in die Theorie und Numerik direkter und inverser Streuprobleme zu geben.

Inhalt des Seminars

Was ist wave scattering?

Die Problemstellung von wave scattering (Streuproblemen) ist zu analysieren, welchen Effekt die Kollision einer Welle mit einem Objekt hat. Streuprobleme treten in verschiedensten Anwendungen auf, besipielsweise bei bildgebenden Verfahren in der Computertomographie, bei Radar, oder historisch bei Rutherfords Entdeckung der Atomkerne.

Mathematisch kann ein Struproblem mittels partieller Differentialgleichungen beschrieben werden. Bei so genannten direkten scattering Problemen hat man eine einfallende Welle u^i und ein Objekt D gegeben, und ist interessiert an der zerstreuten Welle u^s nach Kollision mit dem Objekt. Ist die einfallende Welle eine so gennante akustische ebene Welle u^i(x,t) = exp(i(kxd - wt)), mit Wellenzahl k, Frequenz w und Ausbreitungsrichtung d, so lässt sich das totale Feld u = u^i+u^s mittels der so gennanten Helmholtz-Gleichung beschreiben,

- Δ u - k^2 u = f.

Ein zweiter interessanter Fall sind elektromagnetische ebene Wellen, die auf die Maxwell Gleichungen führen.

                     
Wave scattering.
Wave scattering.

Inverse Probleme

In Anwendungen wir Radar ist man nicht an der gestreuten Welle interessiert, sondern an der Form des Objekts, das die Streuung verursacht hat. Diese Fragestellung führt auf so genannte inverse Probleme, wo Wissen über die gestreute Welle u^s zur Rekonstruktion des Objektes D verwendet wird.

Die Lösung von inversen Streuproblemen ist deutlich anspruchsvoller als die Lösung der direkten Streuprobleme, da diese inherent nichtlinear und schlecht gestellt sind. Ein Ziel dieses Seminars ist, Techniken, wie beispielsweise Regularisierungsmethoden, vorzustellen, um mit diesen Schwierigkeiten umgehen zu können.

Vorträge und Termine

Bevor man das inverse Problem betrachten kann, muss zunächst das direkte Problem verstanden werden. Mögliche Themen sind:

Talks

DatumVortragenderTopicLiteratur
04.04.2019Johann FaschingleitnerDas direkte Scattering-Problem[CK,Kap.2.5-3.4]
11.04.2019Michael LeumüllerNumerische Methoden für das direkte Problem[CK,Kap.3.5-3.6],[Gol],[KM]
02.05.2019Michael InnerbergerSchlecht-gestellte Probleme: Regularisierung[CK,Kap.4.1-4.4]
23.05.2019Conrad GößnitzerDas inverse Scattering-Problem[CK,Kap.5.1-5.3]
06.06.2019Bernd SchwarzenbacherNumerische Methoden für das inverse Problem[CK,Kap.4.5,5.4-5.6]
27.06.2019Maximilian BernkopfInhomogene Materialien[CK,Kap.8]

Leistungsnachweis

90-minütiger Vortrag. Für Bachelorseminar (LVA 101.792) zusätzlich Seminararbeit.

Für das Erstellen der Seminararbeit ist das Template von Dirk Praetorius hilfreich: Seminararbeit Template

Literatur

[CK] David Colton, Rainer Kress: Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer, 2013

[Gol] C. I. Goldstein: The finite element method with nonuniform mesh sizes applied to the exterior Helmholtz problem, Numer. Math. 38, 1981

[KM] A. Kirsch and P. Monk: An analysis of the coupling of finite- element and Nyström methods in acoustic scattering, IMA J. Numer. Anal. 14(4), 1994

Vorkenntnisse

Das Seminar ist geeignet für Bachelor-, Master- und Doktoratsstudenten. Als minimale Voraussetzung sind Funktionalanalysis 1 und Numerik erwünscht.