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Funktionalanalysis 3

Die Vorlesung Funktionalanalysis 3 ist 3 stündig.

 

Termine:

Bis auf Weiteres Vorlesung nur via Youtube!!!! Links siehe weiter unten!

( Montags, ab dem 9.3. um 17h30 bis 19h und Dienstags, ab dem 10.3. um 8h30 bis 10h immer im Sem101C (DA grün 3.Stock). )

 

In der 1. Vorlesung vom 4.3. habe ich folgende Resultate aus dem überarbeiteten Topologiekapitel des Analaysis 2 Skriptums durchgenommen:

Proposition 12.5.8, Proposition 12.5.9, Lemma 12.15.6, Satz 12.15.7

 

In der 2. Vorlesung vom 9.3.:

Für separable Banachräume und w*-kompakte Teilmengen K von X' ist (K,w*|_K) metrisierbar.

Für separable Banachräume und w-kompakte Teilmengen K von X ist (K,w|_K) metrisierbar.

Für separable Banachräume gibt es Folge f_n aus X', n\in N, mit ||x|| = sup_{n\in N} |f_n(x)|.

Definition von Häufungspunkt einer Menge und Häufungspunkt eines Netzes in topologischen Raum.

Definition von abzählbar kompakten und folgenkompakten Teilmengen eines topologischen Raums.

In (T2) Räumen X ist eine Teilmenge A genau dann abzählbar kompakt, wenn jede unendliche Teilmenge von A Häufingspunkt in A hat.

In metrischen Räumen sind die Begriffe abzählbar kompakt, folgenkompakt und kompakt äquivalent.

 

In der 3. Vorlesung vom 10.3.:

Das Bild abzählbar kompakter Teilmengen eines topologischen Raumes unter einer stetigen Abbildung ist wieder abzählbar kompakt.

Der Abschluss einer Menge A in einem metrischen Raum X, wobei A die Eigenschaft hat, dass jede Folge aus A einen Häufungspunkt in X hat, ist abzählbar kompakt.

Jede bezüglich der schwachen Topologie abzählbar kompakte Teilmenge eines Banachraumes ist beschränkt; das gilt auch für Teilmengen A eines Banachraumes X, so dass jede Folge aus A einen Häufungspunkt in X hat.

Beweis dafür, dass jede bezüglich der schwachen Topologie kompakte Teilmenge eines Banachraumes folgendkompakt und somit auch abzählbar kompakt ist.

Beweis dafür, dass jede Teilmenge A eines Banachraumes X mit schwach kompaktem Abschluss (bzgl. der schwachen Topologie) die Eigenschaft hat, dass jede Folge eine schwach konvergente Teilfolge mit Grenzwert in X hat.

Sei X ein normierter Raum. Zu jederm endlich dimensionalen Unterraum F von X' gibt es x_1,...,x_n in X mit ||x'|| <= max(|x'(x_1)|,...,|x'(x_n|) für alle x'\in X'.

 

 

Coronabedingt ....

 

.... findet die Vorlesung ab dem 16.3. zunächst einmal bis Ostern nicht im gewohnten Format statt; bezüglich der Übung siehe die Homepage der Übung Funktionalanalysis 3!

 

Ich werde die Vorlesung nach und nach auf einem Zettel machen, dazu sprechen und mit einem Smartphone aufnehmen. Die Videodateien werden dann über Youtube zur Verfügung gestellt,

wobei wegen der nicht berauschenden Qualität ein Anschauen im Vollbildmodus empfohlen wird. Bisherige Vorlesungen via Youtube:

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 16. und 17. März:

 

Corona1   Fotos dazu:   Bild1

Corona2   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3

Corona3   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3 - Bild4

Corona4   Fotos dazu:   Bild1

Corona5   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3

Corona6   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3 - Bild4

Corona7   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3

Corona8   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3

 

Entspricht ca. dem Stoff vom 23. März:

 

Corona9   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3 - Bild4 - Bild5 - Bild6 - Bild7 - Bild8

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 30 März:

 

Corona10   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3 - Bild4 - Bild5 - Bild6 - Bild7 - Bild8

Corona11   Fotos dazu:   Bild1 - Bild2 - Bild3 - Bild4

 

Voraussichtliche Inhalte

Schwache Topologie auf Banachräumen:

- Satz von Eberlein-Smulian (schwach kompakt = schwach folgenkompakt)

- Schwach kompakte Abbildungen samt Satz von Davis-Figel-Johnson-Pelczynski

- Einführung des Bochner Integrals über Parameterintegrale; Eigenschaften

- Banachraum-wertige Maße; Radon-Nikodym-Eigenschaft

- alle schwach stetigen Operatorhalbgruppen sind stark stetige Operatorhalbgruppen

 

Nach Möglichkeit:

Ausgewählte Themen aus der Operatorhalbgruppentheorie wie zB.:

Lie-Trotter Formel; Analytische Halbgruppen; Störungsresultate

Ausgewählte Themen aus der Operatortheorie wie zB.:

Riesz-Dunfordscher Funktionalkalkül, Friedrichs-Erweiterung (einer symmetrischen halbbeschränkten lin. Relation)

 

Vorwissen

Als Vorwissen sollte ihnen der Stoff der Funktionalanalysis 1 und teilweise Funktionalanalysis 2 geläufig sein.

 

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