101.401 SE, 101.644 SE (2std Seminar, Wintersemester 2016/17)
Seminar: Fixpunktsätze (ggf. mit Seminararbeit)
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Thema

In diesem Semester befassen wir uns mit Fixpunktsätzen und ihren Anwendungen. Fixpunktargumente sind zentrale Argumente in vielen mathematischen Beweisen, z.B. steht der Fixpunktsatz von Banach im Kern des Beweise zum Satz über implizite Funktionen (Analysis 2), zum Satz von Picard-Lindelöf (gewöhnliche Differentialgleichungen) oder auch für das Jacobi-Verfahren (numerische Mathematik).

Im Seminar werden wir die Fixpunktsätze von Banach, Brouwer und Schauder analysieren und diskutieren. Dabei sollen auch Gegenbeispiele gesammelt werden, die zeigen, dass die jeweiligen Voraussetzungen notwendig sind. Je nach Kenntnis und Interesse der Teilnehmer können mögliche Anwendungen aus dem Bereich der Analysis oder Numerik von gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen untersucht werden.

Semesterfahrplan

Die Vorträge finden jeweils donnerstags 08:30 - 10:30 Uhr im Seminarraum DA grün 04 (grüner Turm, 4. Stock) statt. Jeder Teilnehmer hält einen 90-minütigen Vortrag, der fü Bachelor-Studierende in Form einer Seminararbeit (in LaTeX, ca. 10 Seiten) ausgearbeitet wird. Zusätzlich ist zum Vortrag ein Handout vorzubereiten (ohne Beweise).

27.10Sebastian ErtelFixpunktsatz von Banach und Anwendungen: Satz + Beweis, Gegenbeispiele zur Abschwächung der Voraussetzungen, Anwendungen im Beweis des Satzes über implizite Funktionen und des Satzes von Picard-Lindelöf, ggf. Anwendungen aus der Numerik[Klein, Seiten 1-3], Standardliteratur
03.11Philipp WörleOptimalität des Banachschen Fixpunktsatzes: Satz von Bessaga (1969)[Klein, Seiten 14-20]
10.11Carl-Martin PfeilerStark elliptische Operatoren: Eindeutige Lösbarkeit von Operatorgleichung Au = f, Verallgemeinerung des Lax-Milgram Lemmas, Idee und Wohldefiniertheit der Galerkin-Diskretisierung, Cea-Lemma, Konvergenz des Galerkin-Verfahrens[Zeidler, Abschnitt 25.4], [Brokate, Satz 4.17], [Carstensen, Seiten 102-103, 117-119], [Praetorius, Abschnitt 1.3, insb. Aufgabe 4]
17.11entfällt
24.11Conrad GößnitzerFixpunktsatz von Brouwer (1912): Satz von Brouwer + Beweis in R und Rn für n>1, Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme im Rn mit Beispiel[Kaltenbäck], [Heuser, Abschnitte 228-229], [Ruzicka, Lemma 2.26], [Hund, Abschnitt 3.2]
01.12Philip LedererSatz von Browder-Minty (1963): Lösbarkeit von Operatorgleichung Au = f, Eindeutige Lösbarkeit für strikt monotone Operatoren, Spezialfall stark elliptischer Operatoren[Ruzicka, Seiten 55-66], [Brokate, Abschnitt 14 bis inkl. Satz 14.16]
15.12Michael Quell Fixpunktsatz von Schauder (1930) inkl. Beispiel von Kakutani (1943)[Ruzicka, Seiten 21-28], insb. [Ruzicka, Satz 2.33 und Satz 2.46], [Heuser, Abschnitt 229-230]
12.01Hannah KastingerSatz von Peano (1890): klassischer Beweis über Polygonzugverfahren, Fixpunktargument mittels Schauder[Ruzicka, Seiten 73-76], [Heuser, Abschnitt 233], [Walter, Seiten 67-76]
19.01
26.01

Weitere Themen für weitere Interessierte

  Anwendung vom Fixpunktsatz von Brouwer in der Spieltheorie: Nash-Gleichgewicht[Brokate, Abschnitt 13]
  Fixpunktsatz von Kakutani: Anwendung auf Mathematik der Tauschwirtschaft[Heuser, Abschnitte 213-232, 234-236]
  Anwendung vom Fixpunktsatz von Schauder auf PDEs mit Nichtlinearität in Termen niederer Ordnung, z.B. -Laplace(u)+g(u) = f, Konvergenz der Finite Elemente Methode[Ruzicka, Seiten 30-32]
  Anwendung vom Satz von Browder-Minty zur Lösung quasi-linearer PDE, z.B. -div(|grad(u)|p-2grad(u))+g(u) = f[Ruzicka, Seiten 74-81]

Literatur

[Brokate]Martin Brokate: Konvexe Analysis, Skript, Universität Kiel, 1998 
[Carstensen]Carsten Carstensen: Finite Elemente Methode, Skript, Universität Kiel, 2000 
[Heuser]Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1993 (8. Auflage) 
[Hund]Christian Hund: Fixpunktsatz von Brouwer, Bachelorarbeit, Universität Bielefeld, 2010 
[Klein]Hauke Klein: Fixpunktsätze, Skript, Universität Kiel, 2000 
[Praetorius]Dirk Praetorius: Finite Element Method, Skript, TU Wien, 2009 
[Ruzicka]Michael Ruzicka: Nichtlineare Funktionalanalysis, Springer, Heidelberg 2004 
[Walter]Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, Berlin, 1992 (5. Auflage) 
[Zeidler]Eberhard Zeidler: Nonlinear functional analysis and its applications, part II/B, Springer, New York, 1990