101.493 VO (2std Vorlesung, Sommersemester 2015)
AKNUM: Adaptive Finite Element Methode
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Vorlesungstermin

Downloads


18.06.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 12.06.[pdf]
03.06.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 29.05.[pdf]
27.05.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 22.05.[pdf]
15.05.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 15.05.[pdf]
14.05.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 24.04.[pdf]
17.04.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 17.04.[pdf]
27.03.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 27.03.[pdf]
20.03.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 20.03.[pdf]
21.03.2013handschriftliche Unterlagen zur VO am 13.03.[pdf]

Vorlesungstermine & Downloads

DatumThemaVortragender
24.04.2015Effizienz + andere Approximationsklassen, ZusammenfassungPraetorius
17.04.2015Optimaler Rechenaufwand, Dörfler-Markierung mit linearem Aufwand, ZusammenfassungPraetorius
27.03.2015Optimalität der Dörfler-Markerierung, Hauptsatz über optimale KonvergenzPraetorius
20.03.2015Estimator reduction principle, Lineare Konvergenz, Axiom (A4), ZuverlässigkeitPraetorius
13.03.2015Voraussetzungen an Netzverfeinerung und Setting, Axiome (A1)-(A3), Estimator reductionPraetorius
06.03.2015VorbesprechungPraetorius

Ziel der LVA

Die Vorlesung soll die Teilnehmer an ein aktuelles Forschungsgebiet der Numerischen Mathematik heranführen, zu dem die Arbeitsgruppe in den letzten Jahren intensiv gearbeitet und publiziert hat. Bei Interesse können die Teilnehmer im Anschluss an die Veranstaltung an laufenden Forschungsaktivitäten und möglichen Veröffentlichungen mitwirken. Insbesondere kann die Vorlesung natürlich zur Vorbereitung auf eine Bachelor- oder Masterarbeit dienen, die unter Umständen auch im Rahmen eines laufenden Forschungsprojektes finanziell abgegolten werden kann.

Inhalt der LVA

Bei vielen physikalischen Problemen, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden, ist die Lösung nicht überall gleichermaßen 'interessant'. Es bietet sich daher nicht unbedingt an, das Berechnungsgebiet überall mit der gleichen Auflösung zu diskretisieren, sondern vielmehr Zeit und Ressourcen zu sparen und das zugrundeliegende Gitter an solchen 'interessanten' Stellen verstärkt zu verfeinern. Diese Idee führt auf adaptive Verfahren wie die adaptive FEM. Hierbei wird versucht, eine geschickte Folge von Gittern zu generieren, um die exakte Lösung - ohne Kenntnis ebendieser - mit möglichst wenig Aufwand möglichst genau zu approximieren. Dies geschieht mit Hilfe sogenannter a posteriori Fehlerschätzer, also zur Laufzeit berechenbarer Größen, die ohne Kenntnis der exakten Lösung auf jedem Teilgebiet eine Schätzung über die Güte der aktuellen Approximation geben. Diese lokale Fehlerinformation wird dann von einem (pseudo-intelligenten) Algorithmus iterativ genutzt, um das Gitter lokal zu verfeinern, bis die berechnete Lösung hinreichend genau ist.

Das offensichtliche Ziel solcher Algorithmen ist die Berechnung einer approximativen Lösung mit Fehler innerhalb einer vorgeschriebenen Toleranz bei gleichzeitigem minimalen Rechenaufwand. Anders formuliert, sollen die zugrundeliegenden Gitter also durch den adaptiven Algorithmus so verfeinert werden, dass sich im Plot Fehler-vs-Anzahl Elemente das bestmögliche Konvergenzverhalten zeigt. Diese Aufgabe lässt sich mathematisch formulieren und analysieren. Obwohl die tatsächliche Konvergenzordnung des Verfahrens von der Regularität der konkreten Daten (z.B. unbekannte Lösung, gegebene Daten, Randbedingungen etc.) abhängt, lässt sich in einigen Fällen mathematisch beweisen, dass AFEM im Gegensatz zu (uniformer) FEM stets auf die für die konkreten Daten optimale Konvergenzordnung führt. Besonders bei weniger glatten Lösungen lässt sich dieses Verhalten auch anhand von Konvergenzplots beobachten und AFEM konvergiert hier deutlich schneller als uniforme FEM.

Für das Verständnis sind lediglich Grundkenntnisse in Mathematik nötig. Allerdings sind Vorkenntnisse, wie sie in den Vorlesungen zur Numerik partieller Differentialgleichungen: stationäre Probleme, Einführung ins Scientific Computing oder Finite Elemente Methode gelehrt werden, von Vorteil.

Skript/Literatur

Die handschriftlichen Vorbereitungen werden als PDF auf der Homepage zum Download gestellt. Ein Skript entsteht im Zuge der Vorlesung. Insgesamt sollen zumindest die folgenden sieben aktuellen Veröffentlichungen besprochen werden:

Vergangene Semester