Vorlesung im Sommersemester 2011:
Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen
Nummer der LVA: 101.334
Aktuelle Informationen:
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Inhalt
Partielle Differentialgleichungen beschreiben eine Vielzahl von
Prozessen in der Physik, Chemie, Biologie usw. (zB Wellenausbreitung,
Temperaturverteilungen, Strömungen, chemische Reaktionen). Bei realistischer
Modellierung sind die meisten Vorgänge aber nichtlinear.
Im Gegensatz zu linearen PD-Gleichungen gibt es hierbei aber keine
systematische Klassifizierung. Entsprechend ist eine Veilzahl von
analytischen Techniken nötig, um die Existenz, Eindeutigkeit, Struktur und
das Langzeitverhalten von Lösungen zu verstehen. In der VL sollen typische
Strategien besprochen werden: konvexe Analysis,
Maximumsprinzipien, Monotonie, Fixpunktmethoden, usw.
Themen
- nichtlineare elliptische Probleme (Kontraktions- und Fixpunktmethoden, monotone Operatoren)
- nichtlineare parabolische Gleichungen (schwache Formulierung, Evolutionstripel,
degenerierte parabolische Gleichungen, semilineare Reaktions-Diffusionsgleichungen,
nichtlineare Halbgruppentheorie)
- Langzeitverhalten von parabolischen Gleichungen (Spektral- und Entropiemethoden)
- vollständig integrierbare Systeme (Korteweg-deVries Gleichung, nichtlineare
Schrödinger Gleichung, Solitonen)
- Hamilton-Jacobi Gleichungen (Variationsformulierung, Legendre-Transformation,
Viskositätslösungen)
Vorlesung
Di, 15:00 - 15:45 Uhr, Besprechungsraum 101, 6. Stock
Do, 10:30 - 12:00 Uhr, Besprechungsraum 101, 3. Stock
Übungen
Do. 14:00-16:00
Uhr, Sem 101C, Dr.techn. Franz Achleitner
Literatur
Skript zur Vorlesung
A. Arnold:
"Entropy method and the large-time behavior of parabolic equations",
Summer School in Ravello, Italy (2002) 1-37
L.C. Evans:
Partial Differential Equations, AMS, 1998
M. Renardy und R.C. Rogers:
An Introduction to Partial Differential Equations, Springer, New York, 1993
G. B. Whitham:
Linear and nonlinear waves, Wiley, 1974
R. E. Showalter:
Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations, Electron. J. Diff. Eqns., Monograph 01, 1994
R. E. Showalter:
Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations, AMS, 1997
D. Gilbarg, N.S. Trudinger:
Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 1977
M. Giaquinta, S. Hildebrandt:
Calculus of Variations I - The Lagrangian Formalism, Springer, 1996
J.L. Vazquez:
An Introduction to the mathematical theory of the Porous Medium Equation,
in Shape Optimization and Free Boundaries (Montreal, PQ, 1990), 347--389,
NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., 380, Kluwer Acad. Publ.,
Dordrecht, 1992
W.A. Strauss:
Nonlinear Wave Equations, NSF-CBMS Research Monograph No. 73, Amer. Math. Soc., Providence, 1989
M. Grüter:
The Principles of the Calculus of Variations, Skript -
Uni-Saarbrücken, 2001
E. Emmrich:
Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen, Vieweg, 2004
Vorkenntnisse
Partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis
Hörerkreis
Studierende ab dem 6. Semester mit Studienrichtung Mathematik oder Physik
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